第 1 章　SageMath 基本用法入門

（適用：台灣高中～大一；目標：能在 notebook 裡熟練做符號、數值、畫圖與基本資料結構）

1.1 你在 SageMath 裡「在做什麼」？

在 SageMath / Jupyter notebook 你會反覆做四件事：

1. 宣告與建立物件：變數、函數、向量、矩陣、清單
2. 對物件做運算：化簡、代入、求值、解方程、微積分
3. 用圖形與表格觀察：畫函數圖、掃參數、做數值實驗
4. 把步驟留下來：讓你或同學以後能重跑、能改、能擴充

這一章的重點不是「記指令」，而是建立「工作流程」：

• 先用小例子試
• 再把指令整理成可重用的模板
• 最後用它來輔助你原本就會的數學推導

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1.2 Notebook 基本操作：Markdown 與 Code cell

• Markdown cell：寫文字、公式、條列、解題步驟
• Code cell：寫 SageMath 程式碼，按 Shift+Enter 執行

下方先示範一個「你以後會常用的筆記格式」。

範例：把一題「展開與代入」寫成可重跑的筆記

題目：令 $f(x)=(x+1)^3$，求展開式，並計算 $f(2)$。

你可以先寫推導（Markdown），再用 Sage 驗算（Code）。

# 宣告符號變數
var('x')

# 定義函數（其實就是一個式子）
f = (x + 1)^3

# 展開
expand(f)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x^{3} + 3 \, x^{2} + 3 \, x + 1$$

# 代入求值
f(x=2)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}27$$

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1.3 變數與基本運算：整數、分數、根號、π

SageMath 很常做兩種不同的「數字」：

• 精準值（exact）：分數、根號、符號 π 都保留精準
• 近似值（numeric）：小數近似，常用於估算、畫圖、比較大小

下面用幾個例子建立習慣。

# 精準分數
a = 1/3
a

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{3}$$

# 根號與 π 也會保留符號
b = sqrt(2) + pi/6
b

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{6} \, \pi + \sqrt{2}$$

# 需要小數近似時：N(...) 或 .n()
N(b), b.n()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(1.93781233797139, 1.93781233797139\right)$$

常見坑：Python 的 ^ 與 Sage 的 ^

在 純 Python 裡，^ 是位元 XOR；但在 SageMath 的 notebook kernel 中，^ 通常被當成次方。
為了跨環境安全（尤其你把筆記拿去別的 Python 環境跑），建議你養成習慣：

• 次方用 ^ 或 ** 都可以（在 Sage 內兩者都常見）
• 如果你不確定環境，改用 ** 更保險

下面示範兩者等價（在 Sage kernel 下）。

var('x')
expand((x+1)^5), expand((x+1)**5)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(x^{5} + 5 \, x^{4} + 10 \, x^{3} + 10 \, x^{2} + 5 \, x + 1, x^{5} + 5 \, x^{4} + 10 \, x^{3} + 10 \, x^{2} + 5 \, x + 1\right)$$

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1.4 符號變數、式子、函數：var、代入、化簡

(A) 宣告變數

• var('x') 宣告一個符號 x
• var('x y') 一次宣告多個符號

(B) 代入與化簡

• expr(x=3) 或 expr.subs(x=3)：代入
• simplify(expr)：化簡（有時會需要搭配 factor、expand）

下面做一個「高中常見的分式化簡」。

var('x')
expr = (x^2 - 1)/(x - 1)
expr

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$$

# 直接化簡（注意：x=1 仍不在原式定義域內）
simplify(expr)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$$

# 更保險的做法：先因式分解，再約分，再提醒自己定義域
factor(x^2 - 1)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(x + 1\right)} {\left(x - 1\right)}$$

重點觀念：Sage 幫你化簡成 $x+1$，但原式在 $x=1$ 沒有定義。
所以你在寫答案時要自己補上「定義域限制」：$x\neq 1$。

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1.5 常用指令速查：展開、因式分解、通分、展開分母

• expand(expr)：展開
• factor(expr)：因式分解
• together(expr)：通分合併成單一分式
• partial_fraction(expr, x)：部分分式分解（之後積分會用到）

先來一個通分合併的例子。

var('x')
expr = 1/(x-1) + 2/(x+1)
expr

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$$

# 利用 sympy 的函數
from sympy import together
together(expr)

$\displaystyle \frac{3 x - 1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}$

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1.6 解方程的最小入門：solve

後面第 3 章會完整談「一元方程與聯立方程」，這裡先學最小用法：

• solve(方程, 變數) 回傳解的列表
• 方程用 == 表示（不是 =）

例：解 $x^2-5x+6=0$。

var('x')
solve(x^2 - 5*x + 6 == 0, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = 3, x = 2\right]$$

你通常會想把解抽出來做後續運算：

• sol = solve(...)
• sol[0].rhs() 取第一個解的右邊（rhs = right-hand side）

示範如下。

var('x')
sol = solve(x^2 - 5*x + 6 == 0, x)
sol

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = 3, x = 2\right]$$

# 取出兩個解
r1 = sol[0].rhs()
r2 = sol[1].rhs()
r1, r2, r1 + r2, r1*r2

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(3, 2, 5, 6\right)$$

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1.7 畫圖入門：plot 與常用設定

畫圖是建立直覺的最快方式。你至少要會：

• plot(f, (x, a, b))：在區間 [a,b] 畫圖
• ymin, ymax：設定視窗，避免被漸近線撐爆
• 疊圖：plot(...) + plot(...)

(A) 單一函數圖

例：畫 $y=x^2-4x+3$，並猜根在哪裡。

var('x')
q = x^2 - 4*x + 3
plot(q, (x, -1, 5))

(B) 疊兩條曲線：看交點 = 解方程

例：解方程 $x^2-4x+3=0$
等同於找 $y=x^2-4x+3$ 與 $y=0$ 的交點。

var('x')
plot(q, (x, -1, 5)) + plot(0, (x, -1, 5))

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1.8 列表（list）與掃描參數：做「大量實驗」的基本功

高中到大一很多題目都有參數，例如：

• 研究 $a$ 改變時，方程根的變化
• 研究 $n$ 改變時，數列和的變化
• 研究不同初始值的遞迴

你不需要每次都手算。你可以用 list 先跑一排結果。

(A) 用 list 生成值表

例：列出 $n=1\sim 10$ 時 $n^2$ 的值。

# list comprehension（串列生成式）
vals = [n^2 for n in range(1, 11)]
vals

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\right]$$

(B) 同時存成表格（方便閱讀）

Sage 的 table 會把資料排成表格。

table([[n, n^2] for n in range(1, 11)], header_row=['n', 'n^2'])

n	n^2
$1$	$1$
$2$	$4$
$3$	$9$
$4$	$16$
$5$	$25$
$6$	$36$
$7$	$49$
$8$	$64$
$9$	$81$
$10$	$100$

(C) 掃描參數並畫出一族函數（預告第 7 章）

例：畫出 $y=(x-a)^2$ 在不同 a 下的圖形，觀察平移。

var('x a')
plots = sum([plot((x-k)^2, (x, -3, 3)) for k in [-2, -1, 0, 1, 2]])
plots

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1.9 自訂函數與小工具：讓筆記更乾淨

當你一再重複某段操作，就把它寫成「小函數」。 例如：輸入一個多項式，輸出「展開」與「因式分解」的對照。

（這裡的函數用 Python 語法寫，但可以處理 Sage 的物件）

var('x')

def show_expand_factor(expr):
    return expand(expr), factor(expr)

show_expand_factor((x+2)*(x-3)*(x+1))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(x^{3} - 7 \, x - 6, {\left(x + 2\right)} {\left(x + 1\right)} {\left(x - 3\right)}\right)$$

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1.10 本章小結：你應該帶走的能力

看完並跑過這章，你應該能：

• 宣告變數、建立式子、代入求值
• 用 expand / factor / simplify / together 做基本符號操作
• 用 solve 解簡單方程並抽出解
• 用 plot 畫基本函數圖並做疊圖
• 用 list 做值表與簡單參數掃描
• 把重複操作寫成小函數，讓 notebook 可維護

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練習題（附提示）

1. 展開並因式分解：

(a) $(x-2)^4$

(b) $x^4-16$

提示：用 expand 與 factor 互相驗算。

2. 通分化簡：

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

提示：先算 together(...)，再用 factor(...) 看能不能約分。

3. 画圖並猜根：

畫 $y=x^3-3x$ 在 $[-3,3]$ 的圖形，猜它的根有幾個、在哪裡？

提示：根就是圖形與 x 軸交點。

4. 參數掃描（挑戰）：

對 $a=-2,-1,0,1,2$，列出二次方程 $x^2+ax+1=0$ 的兩根（精準形式）。

提示：用 solve(..., x)，再用 list comprehension 把 a 掃過去。

下一章（第 2 章）我們會更系統化地練「式子變形與因式分解」：
包含多項式、分式、根式、代換與常見技巧，並且強調「用 Sage 驗算你的手算」。