第 10 章　導數與微分¶

（適用：台灣高中～大一；目標：把「極限定義—切線斜率—變化率—圖形分析」串起來，並用 SageMath 做符號/數值/圖形交叉驗證）

10.1 導數是什麼？三個視角¶

(A) 極限定義（嚴謹）¶

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

(B) 幾何：切線斜率¶

在點 $x=a$，曲線的切線斜率就是 $f'(a)$。

(C) 物理/應用：瞬時變化率¶

位置對時間的導數是速度，速度對時間的導數是加速度。

本章用 SageMath 做三件事：

  • 從定義出發計算導數（驗算你推導）
  • 用圖形看切線
  • 用導數分析單調、極值、凹凸與切線近似

10.2 用極限定義算導數（從 9 章延伸）¶

例 1：$f(x)=x^2$ 在 $a$ 的導數¶

手算： $$ \frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h\to 2a $$

Sage 驗算：

In [1]:
var('x a h')
f(x) = x^2
expr = (f(a+h) - f(a))/h
simplify(expr), limit(expr, h=0)
Out[1]:

例 2：用 diff 直接求導（常用）¶

Sage 的微分指令：

  • diff(f, x) 或 diff(f(x), x)
In [2]:
var('x')
f = x^2
diff(f, x)
Out[2]:

10.3 基本求導規則（用 Sage 做驗算器）¶

你在課本學過的規則（線性、乘法、商法、鏈鎖）都能用 Sage 驗算。

例：多項式與乘法¶

$ f(x)=(x^2+1)(x-3) $

In [3]:
var('x')
f = (x^2 + 1)*(x - 3)
df = diff(f, x)
df_simplified = expand(df)
f, df_simplified
Out[3]:

你也可以用「手算結果」去比對：

  • 寫出 df_hand
  • simplify(df_hand - df) 是否為 0
In [4]:
df_hand = (2*x)*(x-3) + (x^2+1)*1   # 乘法法則
simplify(df_hand - df)
Out[4]:

10.4 鏈鎖法則：變換與複合函數（連回第 8 章）¶

$ \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x) $

例：$y=\sin(3x-1)$¶

In [5]:
var('x')
y = sin(3*x - 1)
diff(y, x)
Out[5]:

你也可以拆開驗算：

  • 內層 $u=3x-1$，$u'=3$
  • 外層 $\sin u$ 的導數是 $\cos u$ 所以 $y' = 3\cos(3x-1)$。
In [6]:
simplify(diff(y, x) - 3*cos(3*x - 1))
Out[6]:

10.5 切線方程：在 a 點的線性近似¶

切線方程： $ y = f(a) + f'(a)(x-a) $

例：$f(x)=x^3-3x$ 在 $a=1$ 的切線¶

In [7]:
var('x')
f = x^3 - 3*x
a = 1
fa = f(x=a)
fpa = diff(f, x)(x=a)
fa, fpa
Out[7]:
In [8]:
tangent = fa + fpa*(x-a)
tangent
Out[8]:
In [9]:
# 畫圖看切線貼合
plot(f, (x, -3, 3), ymin=-6, ymax=6) + plot(tangent, (x, -3, 3))
Out[9]:
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線性近似（微分近似）¶

若 x 靠近 a： $ f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a) $ 這是微分在應用上的核心（估算誤差、近似計算）。

例：估算 $\sqrt{4.1}$（用 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 4 附近）

In [10]:
var('x')
f = sqrt(x)
a = 4
approx = f(x=a) + diff(f, x)(x=a)*(4.1 - a)
approx_n = N(approx)
true_n = N(sqrt(4.1))
approx_n, true_n, true_n - approx_n
Out[10]:

10.6 單調與極值：用導數做「判號表」¶

流程（高中到大一通用）：

  1. 求 $f'(x)$
  2. 解 $f'(x)=0$ 找臨界點（或導數不存在點）
  3. 分段判號，得單調區間
  4. 由單調判斷極大/極小

例：$f(x)=x^3-3x$¶

In [11]:
var('x')
f = x^3 - 3*x
fp = diff(f, x)
crit = solve(fp == 0, x)
fp, crit
Out[11]:
In [12]:
# 把臨界點取出來
crit_vals = sorted([c.rhs() for c in crit])
crit_vals
Out[12]:
In [13]:
# 在各段取測試點看 f'(x) 正負
test_points = [-2, 0, 2]
[(t, N(fp(x=t))) for t in test_points]
Out[13]:

結論應該是：

  • (-∞,-1)：f' > 0 → 遞增
  • (-1, 1)：f' < 0 → 遞減
  • (1,∞)：f' > 0 → 遞增

所以：

  • x=-1 為局部極大
  • x=1 為局部極小

用 Sage 算函數值驗算：

In [14]:
[(c, f(x=c)) for c in crit_vals]
Out[14]:
In [15]:
# 圖形確認
plot(f, (x, -3, 3), ymin=-6, ymax=6) + sum([point((c, f(x=c)), size=40) for c in crit_vals])
Out[15]:
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10.7 凹凸與拐點：二階導數¶

二階導數：$f''(x)$

  • $f''(x)>0$：圖形向上凹（像碗）
  • $f''(x)<0$：圖形向下凹（像帽子）
  • $f''$ 變號的點可能是拐點

例：$f(x)=x^3-3x$¶

In [16]:
var('x')
f = x^3 - 3*x
fpp = diff(f, x, 2)
fpp
Out[16]:
In [17]:
solve(fpp == 0, x)
Out[17]:
In [18]:
# 拐點 x=0，畫圖看凹凸變化
plot(f, (x, -3, 3), ymin=-6, ymax=6) + point((0, f(x=0)), size=50)
Out[18]:
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10.8 隱函數/參數曲線的導數（先入門）¶

高中有時會遇到「隱函數」：例如圓 $x^2+y^2=1$。
大一會學隱微分。

Sage 可以先幫你做符號推導（理解流程）。

例：若 $x^2+y^2=1$，求 $\frac{dy}{dx}$。

手算：對 x 微分： $ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} $

In [19]:
var('x y')
# 把 y 視為 y(x) 用 function 表示
yfun = function('y')(x)
eq = x^2 + yfun^2 == 1
# 對 x 微分
deq = diff(eq, x)
deq
Out[19]:
In [20]:
# 解出 y'(x)
yp = diff(yfun, x)
solve(deq, yp)
Out[20]:

你會看到形式等同於 $-x/y$。

10.9 本章小結：導數的「四大用途」¶

你現在應該能：

  1. 從極限定義理解導數
  2. 用 diff 快速求導並驗算手算
  3. 寫出切線方程、做線性近似（微分近似）
  4. 用一階/二階導數分析單調、極值、凹凸與拐點

練習題（附提示）¶

  1. 用極限定義算導數：$f(x)=\frac{1}{x}$ 在一般 a 的導數。
    提示：先算差商，再取 $h\to 0$。

  2. 求導並化簡：

    (a) $ (x^2+1)/(x-1) $
    (b) $ \ln(x^2+1) $（若環境支援 ln）

    提示：用 diff，再 simplify。

  3. 切線：求 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=9$ 的切線方程，並估算 $\sqrt{9.1}$。

  4. 單調與極值：分析 $f(x)=x^4-4x^2$ 的極值點與極值。
    提示：先求 $f'(x)$，解 $f'(x)=0$，判號。

5.（挑戰）凹凸：對 $f(x)=x/(x^2+1)$，找可能的拐點並畫圖確認。
提示：算二階導數，解 $f''(x)=0$。

下一章（第 11 章）我們會進入「不定積分與定積分」：
你會看到積分和導數互為逆運算（微積分基本定理），Sage 也能協助符號積分與面積計算。