第 11 章　不定積分與定積分

（適用：台灣高中～大一；目標：理解積分是「反導數/累積量/面積」，並用 SageMath 做符號積分、數值積分與圖形驗證）

11.1 積分的三個視角

(A) 不定積分：反導數

$ \int f(x)\,dx = F(x)+C,\quad \text{其中 }F'(x)=f(x) $

(B) 定積分：累積量（面積/位移/總量）

$ \int_a^b f(x)\,dx $ 代表在區間 [a,b] 的累積效果（可為正也可為負）。

(C) 微積分基本定理（FTC）

若 $F'(x)=f(x)$，則 $ \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) $

本章用 SageMath 做三件事：

1. 用 integral 做符號積分
2. 用 numerical_integral 或 N(integral(...)) 做近似
3. 用圖形看「面積」與「正負抵消」

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11.2 不定積分：integral 與「+C」觀念

Sage 的符號積分：

• integral(expr, x) 或 integrate(expr, x)（integral 常見）

例 1：$\int (3x^2-4x+1)\,dx$

var('x')
f = 3*x^2 - 4*x + 1
F = integral(f, x)
F

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x^{3} - 2 \, x^{2} + x$$

Sage 回傳的通常是某個反導數（不含 +C）。
你要記得：真正的「不定積分」是一族函數 $F(x)+C$。

驗算方式：對結果微分應該回到原函數。

simplify(diff(F, x) - f)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$$

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11.3 基本積分表：用 Sage 當驗算器

常見：

• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（n≠-1）
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|+C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int \sin x dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x dx = \sin x + C$

下面快速驗算幾個：

var('x')
tests = [
    (x^5, integral(x^5, x)),
    (1/x, integral(1/x, x)),
    (exp(x), integral(exp(x), x)),
    (sin(x), integral(sin(x), x)),
    (cos(x), integral(cos(x), x)),
]
tests

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left(x^{5}, \frac{1}{6} \, x^{6}\right), \left(\frac{1}{x}, \log\left(x\right)\right), \left(e^{x}, e^{x}\right), \left(\sin\left(x\right), -\cos\left(x\right)\right), \left(\cos\left(x\right), \sin\left(x\right)\right)\right]$$

# 驗算：微分回去
[(expr, simplify(diff(F, x) - expr)) for expr, F in tests]

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left(x^{5}, 0\right), \left(\frac{1}{x}, 0\right), \left(e^{x}, 0\right), \left(\sin\left(x\right), 0\right), \left(\cos\left(x\right), 0\right)\right]$$

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11.4 代換積分（u-substitution）：用 diff 幫你看出結構

高中到大一常見：看到「內層的導數」就想代換。

例 2：$\int 2x\cos(x^2)\,dx$

手算：令 $u=x^2$，$du=2x\,dx$，所以積分變成 $\int \cos u\,du = \sin u + C$。

用 Sage：

var('x')
expr = 2*x*cos(x^2)
integral(expr, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sin\left(x^{2}\right)$$

你也可以用「驗算」確認：

F = sin(x^2)
simplify(diff(F, x) - expr)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$$

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11.5 部分分式分解（partial fractions）：分式積分的關鍵

典型：$\int \frac{1}{x^2-1}\,dx$

先做部分分式： $ \frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1} $

Sage 指令：partial_fraction(expr, x)

x = var('x')
expr = 1/(x^2 - 1)
pf = expr.partial_fraction(x)
expr, pf

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\frac{1}{x^{2} - 1}, -\frac{1}{2 \, {\left(x + 1\right)}} + \frac{1}{2 \, {\left(x - 1\right)}}\right)$$

integral(expr, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{1}{2} \, \log\left(x + 1\right) + \frac{1}{2} \, \log\left(x - 1\right)$$

結果常會出現 log（對數），並且會牽涉到 |x±1|。
你在寫答案時要記得：定義域要避開 x=±1。

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11.6 定積分：integral(f, x, a, b) 與基本定理

定積分指令：integral(expr, x, a, b)

例 3：$\int_0^2 (x^2-1)\,dx$

var('x')
f = x^2 - 1
I = integral(f, x, 0, 2)
I

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{2}{3}$$

# 用反導數驗算（FTC）
F = integral(f, x)
simplify(F(x=2) - F(x=0) - I)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$$

面積 vs. 帶符號面積（正負抵消）

$\int_a^b f(x)dx$ 是「帶符號面積」：

• f(x)>0 部分貢獻正
• f(x)<0 部分貢獻負

要算「幾何面積」通常要把負的部分取絕對值或分段。

下面用圖形看清楚：

var('x')
f = x^2 - 1
p = plot(f, (x, 0, 2), ymin=-2, ymax=3)
p

計算幾何面積：把 [0,1] 的負面積改成正面積： $ \text{Area}=\int_0^1 |x^2-1|dx+\int_1^2 |x^2-1|dx $ 因為在 [0,1]，f≤0；在 [1,2]，f≥0。

用 Sage：

var('x')
f = x^2 - 1
area = integral(-(f), x, 0, 1) + integral(f, x, 1, 2)
area

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2$$

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11.7 數值積分：當符號積分太難或只需要近似

有些函數沒有簡單的初等反導數，或題目本來就只要近似值。

Sage 常用：

• numerical_integral(f, a, b) 回傳 (近似值, 誤差估計)
• 或 N(integral(...))（若 integral 回傳可算的符號式）

例 4：$\int_0^1 e^{-x^2}dx$（高斯函數，通常沒有初等反導數）

var('x')
f = exp(-x^2)
num = numerical_integral(f, 0, 1)
num

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(0.746824132812427, 8.291413475940723 \times 10^{-15}\right)$$

把結果跟「粗略估計」對照：在 [0,1] 上，$e^{-x^2}$ 介於 $e^{-1}$ 與 1 之間，
所以積分介於 $e^{-1}\approx 0.3679$ 與 1 之間。數值結果應該合理。

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11.8 面積函數與累積量：積分作為「函數」

定義 $ A(t)=\int_{0}^{t} f(x)\,dx $ 那麼（在適當條件下） $ A'(t)=f(t) $ 這就是基本定理的另一種形式。

下面做一個實驗：令 $f(x)=\cos x$，定義 $A(t)=\int_0^t \cos x\,dx$，看看 A'(t) 是否等於 cos(t)。

var('t x')
F = integral(cos(x), x)     # 不定積分
A = F.subs(x=t) - F.subs(x=0)
A

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sin\left(t\right)$$

simplify(diff(A(t), t) - cos(t))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$$

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11.9 積分的應用入門：位移、平均值（先預告）

(A) 位移

若速度 $v(t)$，位移 = $\int_a^b v(t)\,dt$

(B) 函數平均值

$ f_{ ext{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx $

例：求 $f(x)=x^2$ 在 [0,2] 的平均值。

var('x')
f = x^2
avg = (1/(2-0))*integral(f, x, 0, 2)
avg

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{4}{3}$$

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11.10 本章小結：積分的可靠工作流

你現在應該能：

• 用 integral(expr, x) 求不定積分，並用微分驗算
• 用 integral(expr, x, a, b) 求定積分，並用 FTC 驗算
• 了解「帶符號面積」與「幾何面積」差別，會分段處理
• 用 partial_fraction 協助分式積分
• 用 numerical_integral 做近似積分並做合理性檢查
• 理解 $A(t)=\int_0^t f$ 與 $A'(t)=f(t)$ 的關係

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練習題（附提示）

1. 不定積分：$\int (5x^4-2x+3)\,dx$。
   提示：直接 integral，再用 diff 驗算。

2. 代換：$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$。
   提示：令 $u=x^2+1$。

3. 部分分式：$\int \frac{1}{x^2-4}\,dx$。
   提示：先 partial_fraction(1/(x^2-4), x)。

4. 定積分：計算 $\int_{-1}^{2} (x+1)\,dx$，並用圖形看正負面積。

5.（挑戰）幾何面積：求曲線 $y=x^2-2x$ 與 x 軸在 [0,3] 的夾面積。
提示：先找零點（solve），再分段把負的部分取正。

下一章（第 12 章）我們會進入「二維向量與直線幾何」：
你會用 Sage 的向量、內積與畫圖能力，把代數與幾何連起來。