第 12 章　二維向量與直線幾何¶

（適用：台灣高中～大一；目標：用 SageMath 把向量、內積、距離、投影與直線方程串起來，並用圖形驗證幾何直覺）

12.1 本章地圖：你要會的幾件事¶

二維向量與直線幾何常見任務：

  • 向量表示、加減、倍乘、長度（模）
  • 內積：夾角、垂直判斷、投影
  • 點到點距離、點到直線距離
  • 直線的多種表示：兩點式、點斜式、一般式、參數式
  • 交點、平行、垂直、垂足（投影點）

SageMath 能幫你：

  • 快速算向量與內積、解方程找交點
  • 用 plot 把幾何畫出來（建立直覺與驗算）

本章把「代數」與「幾何」連起來：每個幾何結論都能用計算驗證。

12.2 二維向量的建立：vector¶

在 Sage 裡常用：

  • vector([a,b]) 建立向量
  • u + v, u - v, c*u
  • u.norm() 或 sqrt(u*u)（內積）

先建立兩個向量： $ u=(2,-1),\ v=(-3,4) $

In [1]:
u = vector([2, -1])
v = vector([-3, 4])

u, v, u+v, u-v, 2*u
Out[1]:

長度（模）與距離¶

$ \|u\|=\sqrt{u\cdot u} $

注意：在 Sage，向量內積可用 u.dot_product(v) 或 u*v（在向量情境下通常是內積）。

In [2]:
u_norm = u.norm()
v_norm = v.norm()
u_dot_v = u.dot_product(v)

u_norm, v_norm, u_dot_v
Out[2]:

12.3 內積與夾角：平行/垂直的判斷¶

(A) 垂直判斷¶

$ u\perp v \iff u\cdot v = 0 $

(B) 夾角¶

$ \cos \theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} $

用 Sage 算出 u 與 v 的夾角（弧度與度數）。

In [3]:
import math
cos_theta = u.dot_product(v)/(u.norm()*v.norm())
theta = arccos(cos_theta)
N(theta), N(theta*180/pi)
Out[3]:

注意：arccos 輸出是弧度；乘 180/pi 才是度數。

12.4 投影（projection）：把向量「投到」另一個向量方向上¶

向量 u 在 v 上的投影（向量形式）： $ \operatorname{proj}_v(u)=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v $

（前提：v ≠ 0）

In [4]:
proj_v_u = (u.dot_product(v)/v.dot_product(v))*v
proj_v_u
Out[4]:

投影的幾何意義：

  • proj_v(u) 與 v 平行
  • u - proj_v(u) 與 v 垂直

用內積驗證第二點。

In [5]:
w = u - proj_v_u
w.dot_product(v)  # 應該是 0（或非常接近 0）
Out[5]:

12.5 點、向量、與距離¶

(A) 用向量表示點¶

平面上的點 P=(x,y) 也可以用向量表示：vector([x,y])

(B) 兩點距離¶

$ d(P,Q)=\|Q-P\| $

例：P=(1,2), Q=(-2,5)

In [6]:
P = vector([1, 2])
Q = vector([-2, 5])

dist_PQ = (Q - P).norm()
dist_PQ, N(dist_PQ)
Out[6]:

12.6 直線的多種表示¶

(A) 兩點式/參數式（向量式）¶

給兩點 P, Q，方向向量 d = Q-P： $ \ell(t)=P+t\,d $

(B) 點斜式¶

$ y-y_0 = m(x-x_0) $

(C) 一般式¶

$ Ax+By+C=0 $

本章用「向量式」當核心，因為它最容易做投影、距離、交點。

例：過 P=(1,2) 與 Q=(-2,5) 的直線。

In [7]:
var('t')
P = vector([1, 2])
Q = vector([-2, 5])
d = Q - P
P, Q, d
Out[7]:
In [8]:
# 參數式：x(t), y(t)
x_t = P[0] + t*d[0]
y_t = P[1] + t*d[1]
x_t, y_t
Out[8]:

要轉成一般式：把 t 消去。
方向向量 d=(dx,dy) 的法向量可取 n=(dy,-dx)。
直線過 P，則一般式可寫成： $ n\cdot (X-P)=0 $ 其中 X=(x,y)。

下面用 Sage 做。

In [9]:
var('x y')
dx, dy = d[0], d[1]
n = vector([dy, -dx])  # 一個法向量
eq_line = n.dot_product(vector([x, y]) - P) == 0
eq_line
Out[9]:
In [10]:
# 展開成 Ax+By+C=0 的形式
expand(n.dot_product(vector([x, y]) - P))
Out[10]:

12.7 兩直線交點：解聯立方程¶

例：

  • L1：過 (1,2) 與 (-2,5)
  • L2：過 (0,0) 且方向向量 (1,1)（也就是 y=x）

求交點。

In [11]:
var('x y')
# L1 一般式（用上一節算到的式子）
L1 = expand(n.dot_product(vector([x, y]) - P)) == 0

# L2：y = x
L2 = y == x

sol = solve([L1, L2], [x, y])
sol
Out[11]:

也可以畫出兩條直線看交點是否合理。

（為了簡單，直接用 y=mx+b 形式畫線段。）

In [12]:
# 先把 L1 解成 y = mx + b（若斜率存在）
# 由 L1 解 y
sol_y = solve(L1, y)[0].rhs()
sol_y
Out[12]:
In [13]:
p = plot(sol_y, (x, -4, 4)) + plot(x, (x, -4, 4))
# 標出交點
ix = sol[0][0].rhs()
iy = sol[0][1].rhs()
p + point((ix, iy), size=50)
Out[13]:
No description has been provided for this image

12.8 點到直線距離：用法向量（高中常見公式的來源）¶

若直線一般式：$Ax+By+C=0$，點 $P(x_0,y_0)$，距離： $ d= rac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $

我們用向量/法向量的觀點理解：距離其實是「投影長度」。

例：點 R=(2,0) 到直線 L1 的距離¶

In [14]:
var('x y')
R = vector([2, 0])

# 取 L1 的一般式 Ax+By+C
expr_L1 = expand(n.dot_product(vector([x, y]) - P))  # =0
expr_L1
Out[14]:
In [15]:
# 讀出 A,B,C
A = expr_L1.coefficient(x)
B = expr_L1.coefficient(y)
C = expr_L1.subs({x:0, y:0})
A, B, C
Out[15]:
In [16]:
x0, y0 = R[0], R[1]
dist = abs(A*x0 + B*y0 + C)/sqrt(A^2 + B^2)
dist, N(dist)
Out[16]:

垂足（投影點）也能算：用「沿法向量走到線上」¶

若直線法向量為 n，點 R 到直線的垂足 H 可寫成： $ H = R - \lambda n $ 選 $\lambda$ 讓 H 落在直線上即可。

下面用 Sage 解 $\lambda$。

In [17]:
var('lam')
nvec = vector([A, B])  # 其實就是 n 的比例
H = R - lam*nvec

# H 在 L1 上：A*Hx + B*Hy + C = 0
eq = A*H[0] + B*H[1] + C == 0
sol_lam = solve(eq, lam)[0].rhs()
sol_lam
Out[17]:
In [18]:
H_point = H.subs(lam=sol_lam)
H_point
Out[18]:
In [19]:
# 驗算 RH 向量是否與直線方向 d 垂直（內積為 0）
RH = H_point - R
RH.dot_product(d)
Out[19]:

畫圖看點、直線、垂線與垂足：

In [20]:
var('x')
# L1: y = sol_y
p = plot(sol_y, (x, -4, 4))
p += point((R[0], R[1]), size=50) + point((H_point[0], H_point[1]), size=50)
# 畫出 R 到 H 的線段
p += line([(R[0], R[1]), (H_point[0], H_point[1])])
p
Out[20]:
No description has been provided for this image

12.9 平行與垂直：方向向量與內積¶

兩條直線：

  • 平行：方向向量平行（成比例）
  • 垂直：方向向量內積為 0

例：

  • L2：y = x，方向向量 (1,1)
  • 要找一條過點 (2,0) 且垂直於 L2 的直線

因為 (1,1) 的法向量就是 (1,-1)，所以垂直線方向向量可取 (1,-1) 的垂直？
更直接：與 (1,1) 垂直的方向向量可取 (1,-1)（內積 0）。

因此直線參數式： (2,0) + t(1,-1)。

In [21]:
var('t x y')
P0 = vector([2, 0])
d_perp = vector([1, -1])

x_t = P0[0] + t*d_perp[0]
y_t = P0[1] + t*d_perp[1]
x_t, y_t
Out[21]:
In [22]:
# 轉成一般式：用法向量 n = (dy, -dx) = (-1, -1)（或任意比例）
n2 = vector([d_perp[1], -d_perp[0]])
eq = expand(n2.dot_product(vector([x, y]) - P0)) == 0
eq
Out[22]:
In [23]:
# 解出 y=mx+b 看看
solve(eq, y)[0].rhs()
Out[23]:

12.10 本章小結：用向量統一處理幾何¶

你現在應該能：

  • 用 vector 做加減、倍乘、長度、內積與夾角
  • 用投影理解「垂直分解」與點到直線距離
  • 以參數式/向量式建立直線，並能轉成一般式
  • 解聯立方程找直線交點，並用圖形驗證
  • 算點到直線距離與垂足，並驗算垂直性

練習題（附提示）¶

  1. 向量與夾角：給 u=(1,2), v=(2,-1)，算 u·v、|u|、|v|、夾角（度）。
    提示：dot_product、norm()、arccos。

  2. 投影：把 u=(3,4) 投影到 v=(1,0) 上，解釋結果。
    提示：v=(1,0) 是 x 軸方向。

  3. 直線方程：求過 A=(1,-1)、B=(4,2) 的直線一般式。
    提示：方向 d=B-A，法向 n=(dy,-dx)。

  4. 交點：求直線 y=2x+1 與 x+y=4 的交點，並畫圖驗證。
    提示：solve([y==2*x+1, x+y==4],[x,y])。

5.（挑戰）點到直線距離：求點 (1,2) 到直線 3x-4y+5=0 的距離，並找垂足。
提示：距離公式 + 用 H=(x0,y0)-λ(A,B) 解 λ。

下一章（第 13 章）我們會把向量擴展到三維：
空間向量、平面、叉積、距離與立體幾何會變得更系統。