第 15 章　資料分析：平均數、變異數與標準差

（適用：台灣高中～大一；目標：用 SageMath/Python 做描述統計、理解樣本與母體差異，並用視覺化建立直覺）

15.1 本章主旨：把「統計量」變成可計算、可檢查的流程

你在高中到大一最常接觸的資料分析（描述統計）包括：

• 平均數（mean）
• 變異數（variance）與標準差（standard deviation）
• 中位數、眾數、四分位數（延伸）
• 離群值（outliers）與標準化（z-score）

本章會用 SageMath 的計算能力 + Python 的資料處理方式：

1. 用程式正確計算統計量（避免手算錯）
2. 用小例子理解公式（尤其母體 vs. 樣本）
3. 用圖形（直方圖、箱型圖）建立直覺

統計的重點不是「算很快」，而是「知道你算的是什麼」與「解釋得出來」。

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15.2 一組資料的基本輸入：list

先建立一個示例資料（例如某班 10 位同學的測驗分數）：

data = [58, 62, 70, 70, 75, 80, 83, 90, 92, 100]
data

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[58, 62, 70, 70, 75, 80, 83, 90, 92, 100\right]$$

15.3 平均數：總和除以個數

$$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i $$

用 Sage/Python 計算：

n = len(data)
mean = sum(data)/n
mean

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}78$$

加權平均（延伸）

若每個數據有權重 $w_i$，加權平均： $$ \bar{x}_w=\frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} $$

例：平時 40%、期中 30%、期末 30%。

scores = [78, 85, 92]       # 平時、期中、期末
weights = [0.4, 0.3, 0.3]
weighted_mean = sum(s*w for s, w in zip(scores, weights))/sum(weights)
weighted_mean

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}84.3000000000000$$

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15.4 變異數與標準差：分散程度

核心直覺：

• 平均數告訴你「中心在哪」
• 變異數/標準差告訴你「資料散不散」

(A) 母體變異數（population variance）

$$ \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 $$

(B) 樣本變異數（sample variance）

$$ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 $$

差別：樣本用 $n-1$ 是無偏估計（高中不一定要求證明，但要知道用法）。

下面我們兩個都算。

data = [58, 62, 70, 70, 75, 80, 83, 90, 92, 100]
n = len(data)
mean = sum(data)/n

# 母體變異數
var_pop = sum((x-mean)^2 for x in data)/n

# 樣本變異數
var_samp = sum((x-mean)^2 for x in data)/(n-1)

std_pop = sqrt(var_pop)
std_samp = sqrt(var_samp)

mean, var_pop, std_pop.n(), var_samp, std_samp.n()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(78, \frac{823}{5}, 12.8296531519757, \frac{1646}{9}, 13.5236418500672\right)$$

重要：標準差是「變異數開根號」，單位會回到原本資料的因次單位。

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15.5 用 Sage 的統計函數（依環境）

在許多 Sage 環境可以用：

• mean(data)、variance(data)、std(data)

如果你的環境沒有這些函數，前一節的「自己寫」永遠可用。

我們試著呼叫看看：

reset() #清除之前變數

data = [58, 62, 70, 70, 75, 80, 83, 90, 92, 100]
m2 = mean(data)
v1 = variance(data, bias=False) #樣本變異數
sd1 = std(data, bias=False) #樣本標準差
v2 = variance(data, bias=True) #母體變異數
sd2 = std(data, bias=True) #母體標準差
m2, v1, sd1, v2, sd2

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(78, \frac{1646}{9}, \frac{1}{3} \, \sqrt{1646}, \frac{823}{5}, \sqrt{\frac{823}{5}}\right)$$

這裡算出的是平均值，樣本變異數，和樣本標準差。

因為各環境對「母體/樣本」定義可能不同，建議使用指令時先確認，避免誤用。

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15.6 中位數、四分位數與箱型圖（視覺化直覺）

• 中位數：排序後中間的位置
• 四分位數：把資料分成四等分的界點
• 箱型圖：快速看中心、分散與離群值

先算中位數：

data_sorted = sorted(data)
data_sorted

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[58, 62, 70, 70, 75, 80, 83, 90, 92, 100\right]$$

def median(xs):
    xs = sorted(xs)
    n = len(xs)
    if n % 2 == 1:
        return xs[n//2]
    else:
        return (xs[n//2 - 1] + xs[n//2]) / 2

median(data_sorted)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{155}{2}$$

統計圖

Sage 可以用 list_plot、histogram 等畫圖（不同環境可能略差）。

# 直方圖（若你的環境支援 histogram）
try:
    histogram(data, bins=6).show()
except Exception as e:
    e

若某些繪圖函數在你的環境不可用，替代的方法是：

• 先用 list_plot 畫排序後的點
• 或把資料丟到你熟悉的 Python 套件（例如 matplotlib）做直方圖

下面用 list_plot 畫排序後的分布：

points = [(i+1, x) for i, x in enumerate(sorted(data))]
list_plot(points)

# 箱形圖 boxplot
import matplotlib.pyplot as plt

plt.boxplot(data)
plt.title("Boxplot example")
plt.show()

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15.7 離群值與 z-score（標準化）

z-score（標準分數）： $$ z=\frac{x-\mu}{\sigma} $$ 表示距離平均數多少個標準差。

例：100 分在這組資料的 z-score（用母體標準差）。

x = 100
z = (x - mean(data))/std(data, bias=True)
N(z)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1.71477745652166$$

z-score 的用途：

• 不同量尺資料的比較（例如不同考試）
• 判斷離群值（例如 |z|>3 常被視為非常極端）

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15.8 兩組資料比較：平均數相同但標準差不同

這是統計最重要的觀念之一：

兩組資料平均數一樣，分散程度仍可能完全不同。

我們做兩組資料：

• A：集中在平均附近
• B：同樣平均但更分散

A = [70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80]
B = [50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 90, 95, 100]

def pop_stats(xs):
    n = len(xs)
    m = sum(xs)/n
    v = sum((x-m)^2 for x in xs)/n
    return m, v, sqrt(v)

pop_stats(A), pop_stats(B)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\left(\frac{377}{5}, \frac{231}{25}, \frac{1}{5} \, \sqrt{231}\right), \left(75, 275, 5 \, \sqrt{11}\right)\right)$$

# 用點圖快速看差異
pA = list_plot([(i+1, x) for i, x in enumerate(sorted(A))])
pB = list_plot([(i+1, x) for i, x in enumerate(sorted(B))])
pA + pB

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15.9（進階）從資料到機率：期望與變異數的連結（連回第 14 章）

若 X 是隨機變數： $$ \mathrm{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2 $$

用一個離散分佈例子驗算： 公平骰子 X：1~6，各 1/6。

# 骰子：Var(X) = E[X^2] - E[X]^2
E1 = sum(k*(1/6) for k in range(1,7))
E2 = sum(k^2*(1/6) for k in range(1,7))
Var = E2 - E1^2
E1, E2, Var, N(Var)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\frac{7}{2}, \frac{91}{6}, \frac{35}{12}, 2.91666666666667\right)$$

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15.10 本章小結：資料分析的可靠工作流

你現在應該能：

• 用 list 輸入資料並計算平均數（含加權平均）
• 正確區分母體/樣本變異數，並計算標準差
• 用排序、點圖、直方圖/箱型圖（若支援）理解分布
• 用 z-score 做標準化並初步判斷離群值
• 透過兩組資料比較理解「平均一樣不代表分布一樣」
• 理解 Var 與期望的關係$E[X^2]-E[X]^2$

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練習題（附提示）

1. 計算：資料 [2,4,4,4,5,5,7,9] 的平均數、母體變異數、母體標準差。
   提示：照 15.4 的公式寫。

2. 同一組資料，算樣本變異數與樣本標準差，並比較與母體版本差異。
   提示：分母用 n-1。

3. 加權平均：某科目平時 30%、期中 30%、期末 40%，分數分別 70、80、90，求總成績。

4. z-score：對題目 1 的資料，計算 x=9 的 z-score（用母體標準差），並解釋它代表什麼。

5.（挑戰）資料清理：

若資料中有一筆輸入錯誤（例如 700），請示範如何用程式找出異常值：

提示：用 z-score 或用「與中位數差距」的方式。

下一章（第 16 章）我們會整理「電腦代數系統的應用策略」：
你會學到如何在解題時正確使用 CAS：何時信、何時檢查、如何避免誤用與增根。