第 2 章　式子變形與因式分解

（適用：台灣高中～大一；目標：把「手算技巧」和「Sage 驗算」整合成可靠流程）

2.1 這一章要解決什麼問題？

「式子變形」與「因式分解」是很多章節的共同基礎：

• 解方程、解不等式前，常要先整理成可處理的形式
• 求極限、微積分前，常要先約分、通分、化簡
• 函數圖形分析時，常要先分解看零點／漸近線／對稱性

但手算時最常遇到兩個痛點：

1. 步驟多、容易手誤：尤其是展開、合併同類項、通分
2. 分解不唯一：同一個式子可能有很多等價形式

本章策略：
你用手算做推導，SageMath 用來「驗算」與「探索」。
你要學會的是：如何用最少指令，快速確認你的變形是否正確。

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2.2 你的第一個驗算模板：比較兩個式子是否相等

如果你手算得到：$A(x)=B(x)$
最穩的方法不是「看起來像」，而是算：

$$ A(x)-B(x)\stackrel{?}{=}0 $$

在 Sage 裡就寫：

• simplify(A - B) 看是否得到 0
• 或者 expand(A - B)、factor(A - B) 多看幾種形式

下面先做最基本的示範。

var('x')

A = (x+1)^2
B = x^2 + 2*x + 1

simplify(A - B)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(x + 1\right)}^{2} - x^{2} - 2 \, x - 1$$

如果輸出是 0，代表在「代數恆等式」的意義下相等。

注意：若牽涉到根號、絕對值、分式的「定義域」或「主值」，
只靠 simplify 有時不夠。這些會在第 4 章（不等式與絕對值）補強。

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2.3 多項式：展開、合併同類項、因式分解

常用指令

• expand(expr)：展開
• collect(expr, x)：以 x 的冪次收集（整理成標準多項式）
• factor(expr)：因式分解
• factor_list(expr)：回傳「因子與次方」的列表（更結構化）

例題 1：展開與收集

題目：把 $(x-2)(x+3)(2x-1)$ 展開並整理成標準多項式。

var('x')
expr = (x-2)*(x+3)*(2*x-1)
expand(expr)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2 \, x^{3} + x^{2} - 13 \, x + 6$$

# collect 讓結果以 x 的冪次排序（有時候比 expand 更接近你想要的「標準型」）
from sympy import collect
collect(expand(expr), x)

$\displaystyle 2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6$

例題 2：高中常見公式的驗算

驗算：

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Sage 用法一樣：看差是否為 0。

var('a b')
simplify((a+b)^2 - (a^2 + 2*a*b + b^2)), simplify((a-b)*(a+b) - (a^2 - b^2))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left({\left(a + b\right)}^{2} - a^{2} - 2 \, a b - b^{2}, {\left(a + b\right)} {\left(a - b\right)} - a^{2} + b^{2}\right)$$

例題 3：因式分解（先看結構，再下手）

題目：分解 $x^4-16$。

手算常見想法：

• 先當成平方差：$(x^2)^2 - 4^2$
• 再繼續分解：$(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$

用 Sage 一秒驗算。

var('x')
factor(x^4 - 16)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(x^{2} + 4\right)} {\left(x + 2\right)} {\left(x - 2\right)}$$

# 更結構化地看：因子與次方
(x**4 - 16).factor_list()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left(x^{2} + 4, 1\right), \left(x + 2, 1\right), \left(x - 2, 1\right)\right]$$

小技巧：你在紙上分解時，如果卡住，可以先用 factor(...) 看答案長什麼樣，
然後回去思考「我手算要怎麼走到這個結構」。
這樣你練到的是技巧，而不是只抄答案。

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2.4 分式：通分、約分、拆分與「定義域意識」

常用指令

• together(expr)：通分合併成單一分式
• factor(...)：分子分母因式分解後比較容易約分
• simplify(...)：整體化簡（但你要自己記得限制條件）
• partial_fraction(expr, x)：部分分式分解（積分與求和會用）

例題 4：通分合併

題目：化簡 $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}$。

from sympy import together
var('x')
expr = 1/(x-1) + 2/(x+1)
together(expr)

$\displaystyle \frac{3 x - 1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}$

# 分子分母分解一下，方便看是否能再約分
expr.simplify_rational().factor()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{3 \, x - 1}{{\left(x + 1\right)} {\left(x - 1\right)}}$$

例題 5：約分化簡（但要記得原式的限制）

題目：化簡 $\dfrac{x^2-1}{x-1}$。

Sage 會給你 $x+1$，但你要在答案旁註記：$x\neq 1$。

var('x')
expr = (x^2 - 1)/(x - 1)
simplify(expr), factor(expr)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\frac{x^{2} - 1}{x - 1}, x + 1\right)$$

重要觀念：化簡後不等於「完全相同的函數」

• 原式：在 $x=1$ 沒有定義
• 化簡後：$x+1$ 在 $x=1$ 有定義

所以它們是「在共同定義域上相等」：對所有 $x \neq 1$，兩者相同。

後面談極限時（第 9 章），這個觀念會非常常用：

• 可以把分式約分來算極限
• 但不能因此忘記原本的限制點

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2.5 根式與有理化：用 Sage 幫你檢查

高中常見：把分母有根號的分式「有理化」。

例：化簡 $ rac{1}{\sqrt{x}+1} $ 手算：乘以共軛 $ rac{1}{\sqrt{x}+1}\cdotrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}=rac{\sqrt{x}-1}{x-1} $

用 Sage 驗算（看差是否為 0）。

var('x')
A = 1/(sqrt(x) + 1)
B = (sqrt(x) - 1)/(x - 1)
simplify(A - B)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$

注意：根號牽涉到「定義域」與「主值」
例如這裡通常假設 $x\\ge 0$ 且 $x\\ne 1$。
Sage 的 simplify 在多數高中情境下足夠，但在更嚴謹的分析中要補上條件。

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2.6 代換（substitution）：把複雜式子變簡單

很多因式分解題是「看起來很亂」，但其實是某個結構的代換。

例題 6：代換把四次式變二次式

題目：分解 $x^4 + 2x^2 - 3$。

觀察：這是以 $x^2$ 為主的二次式。
令 $t=x^2$，變成 $t^2+2t-3=(t+3)(t-1)$
再代回：$(x^2+3)(x^2-1)=(x^2+3)(x-1)(x+1)$

先用 Sage 看分解結果，再用手算理解它。

var('x')
factor(x^4 + 2*x^2 - 3)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(x^{2} + 3\right)} {\left(x + 1\right)} {\left(x - 1\right)}$$

# 驗算你的手算結果（自行寫出來比對差是否為 0）
hand = (x^2+3)*(x-1)*(x+1)
simplify(hand - (x^4 + 2*x^2 - 3))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-x^{4} + {\left(x^{2} + 3\right)} {\left(x + 1\right)} {\left(x - 1\right)} - 2 \, x^{2} + 3$$

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2.7 特殊因式：提公因式、分組、對稱與反對稱

(A) 提公因式（最基本但最常忘）

例：$x^3-3x^2 = x^2(x-3)$

var('x')
factor(x^3 - 3*x^2)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(x - 3\right)} x^{2}$$

(B) 分組分解

例：$ax+ay+bx+by = (a+b)(x+y)$

很多題目就是在考你「看出分組」。

var('a b x y')
expr = a*x + a*y + b*x + b*y
factor(expr)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(a + b\right)} {\left(x + y\right)}$$

(C) 對稱型：把它看成「同樣的結構」

例：$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
例：$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

var('x y')
factor(x^3 + y^3), factor(x^3 - y^3)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left({\left(x^{2} - x y + y^{2}\right)} {\left(x + y\right)}, {\left(x^{2} + x y + y^{2}\right)} {\left(x - y\right)}\right)$$

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2.8 因式分解不是只有「找答案」：它在解題中的用途

你分解一個式子，通常是為了做其中一件事：

1. 找零點（解方程）：$P(x)=0$
2. 判號（不等式）：看每個因子在哪些區間為正／負
3. 約分（極限、化簡）：把可去除的不連續點找出來
4. 看圖形結構（函數）：例如對稱、平移、伸縮、漸近線

下面用一個小例子把「找零點」與「畫圖」連起來。

var('x')
P = x^3 - 3*x^2 - x + 3
factor(P)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(x + 1\right)} {\left(x - 1\right)} {\left(x - 3\right)}$$

# 因式分解後，根一眼就能看出來；再用 solve 驗算
solve(P == 0, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = 1, x = \left(-1\right), x = 3\right]$$

# 畫圖看看根的位置是否合理
plot(P, (x, -3, 5))

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2.9 應用策略：用 Sage「輔助」而不是「取代」手算

建議你練習用下面流程：

1. 先觀察結構：平方差？完全平方？以 $x^2$ 為主？可分組？
2. 手算嘗試分解：寫出你的分解式
3. Sage 驗算：simplify(你的分解 - 原式) 是否為 0
4. 如果失敗：用 factor(原式) 看看 Sage 的分解長什麼樣
5. 回到手算：思考「哪一步看錯了」或「缺了什麼技巧」

這樣你才會越練越強，而不是越來越依賴工具。

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2.10 本章小結

你現在應該能：

• 用差是否為 0 來驗算恆等式
• 熟練 expand / factor / simplify / together
• 在分式、根式操作時保持「定義域意識」
• 用代換與結構觀察處理較難的分解題
• 理解因式分解在後續章節（方程、不等式、極限、微積分）的用途

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練習題（附提示）

1. 驗算恆等式：

(a) $(x+2)^3 = x^3+6x^2+12x+8$

(b) $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$

提示：用 simplify(LHS-RHS)。

2. 因式分解：

(a) $x^4-5x^2+4$（提示：令 $t=x^2$）

(b) $2x^2-8$（提示：先提公因式）

(c) $x^3+8$（提示：立方和公式）

3. 分式化簡並註記限制：

$\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}$

提示：先 factor，再約分，最後寫出 $x\ne 0,2$。

4. 有理化驗算：

把 $\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{1}$ 化簡成「沒有分母根號」的形式。

提示：乘上共軛，然後用 simplify 驗算。

5.（挑戰）找出參數 a 使得多項式可被 $x-1$ 整除：

$P(x)=x^3+ax^2-2x+1$

提示：整除等價於 $P(1)=0$；用 Sage 計算 P(x=1) 再解 a。

下一章（第 3 章）我們會進入「一元方程與聯立方程」：
會把本章的因式分解技巧，直接用在解題與驗算流程中。