第 4 章　不等式與絕對值

（適用：台灣高中～大一；目標：用 SageMath 輔助「判號、分段、圖像直覺」並保持嚴謹）

4.1 本章重點：不等式的核心其實是「判號」與「分段」

不等式題目看起來很多種，但最常見的思路其實是：

1. 移項整理：把不等式改成「某個式子」的正負問題
2. 找臨界點：分子/分母=0、絕對值內=0、根號內=0（定義域）
3. 分段判號：在各區間選測試點，或用因子判號
4. 合併結果：注意是否包含端點、是否排除定義域

SageMath 可以幫你：

• 快速因式分解、找零點（臨界點）
• 畫圖觀察（建立直覺）
• 用 solve / solve_univariate_inequality 求解（但你要會解讀）

重點提醒：不等式最容易「機器算出來了但你看不懂」。
本章會把「Sage 輸出」轉成你熟悉的分段思維。

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4.2 Sage 的不等式表示法

在 Sage 裡：

• 方程用 ==
• 不等式用 <, <=, >, >=
• 區間/集合可以用 interval、RealSet（依環境）

先從最簡單的例子開始： 解 $2x-3 \ge 0$。

var('x')
solve(2*x - 3 >= 0, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x \geq \left(\frac{3}{2}\right)\right]\right]$$

不同版本/環境下，solve 對不等式的行為可能不同。

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4.3 一元多項式不等式：因式分解 + 判號表（高中最重要）

例題：解 $$ (x-1)(x+2)(2x-3) > 0 $$

流程：

1. 找零點：$x=1,-2,\frac{3}{2}$
2. 以零點分段
3. 每段判正負

var('x')
ineq = (x-1)*(x+2)*(2*x-3) > 0
ineq

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(2 \, x - 3\right)} {\left(x + 2\right)} {\left(x - 1\right)} > 0$$

用「人類可讀」的方式重做一次：零點 + 測試點

我們把零點排序：$-2 < 1 < 3/2$
分段：$(-\infty,-2),(-2,1),(1,3/2),(3/2,\infty)$

在每段選一個測試點代入看正負。

var('x')
f = (x-1)*(x+2)*(2*x-3)

critical = [-2, 1, 3/2]
test_points = [-3, 0, 1.2, 2]  # 各段的測試點（注意 1.2 只是方便的數值）

[(tp, N(f(x=tp))) for tp in test_points]

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left(-3, -36.0000000000000\right), \left(0, 6.00000000000000\right), \left(1.20000000000000, -0.384000000000000\right), \left(2, 4.00000000000000\right)\right]$$

練習時建議：先手算判號表 → 再用 Sage 解 → 對照
這樣你會越來越快，且不會失去能力。

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4.4 分式不等式：多一個「定義域」層

例題：解 $$ \frac{x+1}{x-2} \le 0 $$ 流程：

1. 定義域：$x\ne 2$
2. 臨界點：分子=0 → $x=-1$；分母=0 → $x=2$
3. 分段判號：$(-\infty,-1),(-1,2),(2,\infty)$

var('x')
ineq = (x+1)/(x-2) <= 0
solve(ineq, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x \geq \left(-1\right), x < 2\right]\right]$$

# 用測試點判號（注意避開 x=2）
f = (x+1)/(x-2)
test_points = [-2, 0, 3]
[(tp, N(f(x=tp))) for tp in test_points]

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left(-2, 0.250000000000000\right), \left(0, -0.500000000000000\right), \left(3, 4.00000000000000\right)\right]$$

小提醒：分式不等式「端點是否取等」要分開看：

• 分子=0 的點如果允許（定義域內）且是不等號含等號（≤/≥），通常會包含
• 分母=0 的點一定排除（不在定義域）

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4.5 絕對值：分段定義是王道

絕對值的定義

$ |u|=\begin{cases} u, & u\ge 0\\\\ -u, & u<0 \end{cases} $

你要會兩件事：

1. 找「絕對值內」等於 0 的點當分段點
2. 在各段把 |u| 改成 ±u

Sage 裡絕對值是 abs(...) 或 |u|（一般用 abs 比較清楚）。

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例題 1：基本型 $|x-1|<3$

手算：等價於 $-3 < x-1 < 3$ → $-2 < x < 4$

var('x')
solve(abs(x-1) < 3, x)

#0: solve_rat_ineq(ineq=abs(_SAGE_VAR_x-1) < 3)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[\left(-2\right) < x, x < 4\right]\right]$$

例題 2：含兩個絕對值 $|x-2| \ge |x+1|$

典型做法：分段點是 2 與 -1。
也可以平方兩邊（兩邊皆非負）： $ (x-2)^2 \ge (x+1)^2 $ 再化簡。

下面示範「平方法」並用 Sage 驗算。

var('x')
ineq = abs(x-2) >= abs(x+1)

# 直接解
solve(ineq, x)

#0: solve_ra

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x = \left(\frac{1}{2}\right)\right], \left[x < \left(-1\right)\right], \left[x = \left(-1\right)\right], \left[\left(-1\right) < x, x < \left(\frac{1}{2}\right)\right]\right]$$

t_ineq(ineq=abs(_SAGE_VAR_x-2) >= abs(_SAGE_VAR_x+1))

# 平方化簡後的等價不等式（因為兩邊都是絕對值，>=0，可平方）
ineq2 = (x-2)^2 >= (x+1)^2
simplify((x-2)^2 - (x+1)^2)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(x + 1\right)}^{2} + {\left(x - 2\right)}^{2}$$

solve(ineq2, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x \leq \left(\frac{1}{2}\right)\right]\right]$$

注意：若不是「兩邊皆非負」的情況，直接平方可能不等價。
絕對值兩邊平方通常安全，但遇到一般式子時要小心。

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4.6 絕對值方程與不等式的「增根」與「漏解」提醒

例題：解 $|x|=x$。

手算：只有當 $x\ge 0$ 時成立。
用 Sage 看看。

var('x')
solve(abs(x) == x, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[x = {\left| x \right|}\right]$$

不同環境對 abs(x)==x 的處理可能不一樣。
更保險的方式是你自己做分段：

• 若 $x\ge 0$：$|x|=x$，成立
• 若 $x<0$：$|x|=-x$，方程變成 $-x=x$，只可能 x=0，但不在 x<0

結論：$x\ge 0$。

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4.7 以圖形建立直覺：不等式就是「在哪裡高於/低於」

對一元函數不等式：

• $f(x)>0$：圖形在 x 軸上方
• $f(x)\le 0$：圖形在 x 軸下方或碰到

例題：$x^3-3x^2-x+3>0$

先畫圖再解，你會更有把握。

var('x')
f = x^3 - 3*x^2 - x + 3
plot(f, (x, -3, 5))

solve(f > 0, x)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[x > \left(-1\right), x < 1\right], \left[x > 3\right]\right]$$

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4.8 常見高中技巧：AM-GM 與平方完成（Sage 做驗算與探索）

(A) 平方完成：找最小值/最大值

例：求 $x^2-4x+7$ 的最小值。

手算：$x^2-4x+7=(x-2)^2+3$，最小值是 3（在 x=2）。

用 Sage 驗算（微分或直接完成平方）：

var('x')
g = x^2 - 4*x + 7
# 完成平方：Sage 沒有一個必背的單一指令，但可以手動 + 驗算
h = (x-2)^2 + 3
simplify(g - h)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(x - 2\right)}^{2} + x^{2} - 4 \, x + 4$$

# 用微分也能找到極值（第 10 章會更系統）
dg = diff(g, x)
solve(dg == 0, x), g(x=2)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\left[x = 2\right], 3\right)$$

(B) AM-GM（算術平均 ≥ 幾何平均）— 用數值實驗建立直覺

對 $a,b>0$： $$ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} $$

Sage 不能「自動證明」所有不等式（那是另一套領域），
但你可以用「隨機取值 + 驗算」先建立直覺，再回去寫正式證明。

下面用隨機正數測試 AM-GM。

import random
def check_amgm(trials=10):
    data = []
    for _ in range(trials):
        a = random.random()*10 + 0.1
        b = random.random()*10 + 0.1
        lhs = (a+b)/2
        rhs = (a*b)**0.5
        data.append((a, b, lhs, rhs, lhs-rhs))
    return data

table(check_amgm(8), header_row=['a', 'b', '(a+b)/2', 'sqrt(ab)', 'difference'])

a	b	(a+b)/2	sqrt(ab)	difference
$6.67332274674603$	$7.42770745633845$	$7.05051510154224$	$7.04041824926321$	$0.0100968522790286$
$0.917757995449040$	$7.63635247423512$	$4.27705523484208$	$2.64732384480938$	$1.62973139003270$
$8.79428785034975$	$4.29357310511466$	$6.54393047773221$	$6.14482854056143$	$0.399101937170776$
$7.01090463407838$	$2.51375773347985$	$4.76233118377912$	$4.19806095032031$	$0.564270233458806$
$7.80436833892625$	$0.213117979277551$	$4.00874315910190$	$1.28967096963902$	$2.71907218946288$
$0.554405270486603$	$7.39231538341961$	$3.97336032695311$	$2.02443538046217$	$1.94892494649093$
$6.94261613331407$	$9.16934405358790$	$8.05598009345098$	$7.97867382202999$	$0.0773062714209853$
$2.94906559188379$	$6.30809985764713$	$4.62858272476546$	$4.31311954858130$	$0.315463176184158$

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4.9 本章小結：不等式題的可靠工作流

你現在應該能：

• 用 solve 取得不等式解集
• 用「零點/分母為 0/絕對值內為 0」找臨界點並分段判號
• 對分式不等式保持定義域意識（分母=0 一律排除）
• 以圖形輔助直覺，但仍能用判號表完成嚴謹結論
• 遇到不等式證明題時，用數值實驗探索猜想（不取代證明）

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練習題（附提示）

1. 多項式不等式：解 $(x-3)(x+1)^2 \ge 0$。
   提示：重根不會改變正負號（因子平方 ≥0）。

2. 分式不等式：解 $\dfrac{x^2-1}{x^2-4} < 0$。
   提示：臨界點：分子零點 ±1，分母零點 ±2；分段判號。

3. 絕對值基本：解 $|2x-5| \le 3$。
   提示：$-3 \le 2x-5 \le 3$。

4. 絕對值比較：解 $|x-2| < |x+1|$。
   提示：可平方兩邊（皆 ≥0），或以 -1 與 2 分段。

5.（挑戰）參數不等式：找出所有 a 使得二次式 $x^2-2ax+a^2-1 \ge 0$ 對所有實數 x 成立。
提示：完成平方：$(x-a)^2-1 \ge 0$ 會發生什麼？
進一步想：若要對所有 x 成立，最小值必須 ≥0。

下一章（第 5 章）我們會進入「數列與遞迴關係」：
判號與分段思維仍會出現（例如比較、夾擠、單調性）。