第 5 章　數列與遞迴關係

（適用：台灣高中～大一；目標：用 SageMath 做「列項、求和、遞迴實驗、收斂直覺」並能回到手算推導）

5.1 本章為什麼重要？

數列與遞迴關係是高中數學的重點，也會一路延伸到大一：

• 微積分中的極限與收斂
• 離散數學與演算法中的遞迴
• 機率與統計中的期望與遞推

手算常見困難：

• 看到遞迴很難想像「長相」
• 求和公式容易記錯或推導很長
• 收斂/發散靠直覺，但直覺有時不可靠

SageMath 能幫你：

• 快速列出前幾項、畫出趨勢
• 自動計算求和（符號或數值）
• 用數值實驗猜想公式，再回去證明

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5.2 基本概念：用 list 寫出數列前 N 項

數列可以用「明確公式」或「遞迴」定義。

(A) 明確公式（顯式）

例：$a_n = 2n+1$，列出 $n=1\sim 10$。

# 顯式數列：a_n = 2n + 1
terms = [2*n + 1 for n in range(1, 11)]
terms

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21\right]$$

table([[n, 2*n+1] for n in range(1, 11)], header_row=['n', 'a_n'])

n	a_n
$1$	$3$
$2$	$5$
$3$	$7$
$4$	$9$
$5$	$11$
$6$	$13$
$7$	$15$
$8$	$17$
$9$	$19$
$10$	$21$

(B) 用點圖/折線圖看趨勢

把數列視為點 (n, a_n)，你會更直覺地看到成長速度。

points = [(n, 2*n+1) for n in range(1, 21)]
list_plot(points)

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5.3 等差數列與等比數列：列項 + 求和 + 驗算

(A) 等差數列

$ a_n = a_1 + (n-1)d $ 和： $ S_n = rac{n(a_1+a_n)}{2} $

例：$a_1=3,d=2$，求前 10 項與 $S_{10}$。

a1, d = 3, 2
an = lambda n: a1 + (n-1)*d

terms = [an(n) for n in range(1, 11)]
terms, sum(terms)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\left[3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21\right], 120\right)$$

# 用公式驗算
n = 10
Sn_formula = n*(a1 + an(n))/2
Sn_formula

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}120$$

(B) 等比數列

$ a_n = a_1 r^{n-1},\quad S_n=a_1rac{1-r^n}{1-r}\ (r e 1) $

例：$a_1=5,r=\frac12$，求 $S_{8}$。

a1, r = 5, 1/2
an = lambda n: a1*r^(n-1)

terms = [an(n) for n in range(1, 9)]
sum_terms = sum(terms)
sum_terms

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1275}{128}$$

n = 8
Sn_formula = a1*(1 - r^n)/(1 - r)
simplify(sum_terms - Sn_formula), Sn_formula

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(0, \frac{1275}{128}\right)$$

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5.4 用 Sage 的 sum 做符號求和（高中～大一都好用）

Sage 的 sum(表達式, 變數, 起, 迄) 可以做符號求和。

例： $ \sum_{k=1}^{n} k,\quad \sum_{k=1}^{n} k^2,\quad \sum_{k=0}^{n} r^k $

var('k n r')
S1 = sum(k, k, 1, n)
S2 = sum(k^2, k, 1, n)
Sg = sum(r^k, k, 0, n)
S1, S2, Sg

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\frac{1}{2} \, n^{2} + \frac{1}{2} \, n, \frac{1}{3} \, n^{3} + \frac{1}{2} \, n^{2} + \frac{1}{6} \, n, \frac{r^{n + 1} - 1}{r - 1}\right)$$

你可以把它當成「推導後的驗算器」：

• 你手算推導出 $\frac{n(n+1)}{2}$，就用 simplify(S1 - n*(n+1)/2) 看是否為 0。

simplify(S1 - n*(n+1)/2), simplify(S2 - n*(n+1)*(2*n+1)/6)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-\frac{1}{2} \, {\left(n + 1\right)} n + \frac{1}{2} \, n^{2} + \frac{1}{2} \, n, -\frac{1}{6} \, {\left(2 \, n + 1\right)} {\left(n + 1\right)} n + \frac{1}{3} \, n^{3} + \frac{1}{2} \, n^{2} + \frac{1}{6} \, n\right)$$

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5.5 望遠鏡求和（telescoping）：用列項找結構

望遠鏡求和常見型態： $$ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)=1-\frac{1}{n+1} $$

用 Sage 列出部分和會很直覺。

var('k n')
term = 1/k - 1/(k+1)
Sn = sum(term, k, 1, n)
Sn

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{n}{n + 1}$$

# 列出 n=1..10 的部分和（看趨勢）
vals = [(m, N(Sn.subs(n=m))) for m in range(1, 11)]
table(vals, header_row=['n', 'S_n (numeric)'])

n	S_n (numeric)
$1$	$0.500000000000000$
$2$	$0.666666666666667$
$3$	$0.750000000000000$
$4$	$0.800000000000000$
$5$	$0.833333333333333$
$6$	$0.857142857142857$
$7$	$0.875000000000000$
$8$	$0.888888888888889$
$9$	$0.900000000000000$
$10$	$0.909090909090909$

你也可以直接化簡出閉式：

simplify(Sn)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{n}{n + 1}$$

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5.6 遞迴關係：用程式生成前 N 項（建立直覺）

(A) 最基本模板：for 迴圈

例：Fibonacci 數列 $ F_1=1,\ F_2=1,\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} $

def fib_list(N):
    if N <= 0:
        return []
    if N == 1:
        return [1]
    F = [1, 1]
    for _ in range(3, N+1):
        F.append(F[-1] + F[-2])
    return F

fib_list(12)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144\right]$$

# 畫出前 15 項（成長很快）
points = [(n, fib_list(15)[n-1]) for n in range(1, 16)]
list_plot(points)

(B) 一階線性遞迴：常見在高中題

$ a_{n+1} = p a_n + q $ 例：$a_1=2$, $a_{n+1}=3a_n+1$。

我們用程式列項，再猜閉式，再用 simplify 驗算。

def recur_linear(a1, p, q, N):
    a = a1
    seq = [a]
    for _ in range(1, N):
        a = p*a + q
        seq.append(a)
    return seq

seq = recur_linear(a1=2, p=3, q=1, N=8)
seq

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[2, 7, 22, 67, 202, 607, 1822, 5467\right]$$

先用手算/觀察猜閉式：
這種型態通常可用「平移」變成等比：

令 $b_n = a_n + c$，希望滿足 $b_{n+1}=p b_n$。
因為 $ a_{n+1}+c = p(a_n+c) \iff a_{n+1} = p a_n + (pc-c) $ 所以要 $q = pc-c = (p-1)c \Rightarrow c = \frac{q}{p-1}$（當 $p\ne 1$）。

本題 $p=3,q=1$，所以 $c=\frac{1}{2}$。
令 $b_n=a_n+\frac12$，就有 $b_{n+1}=3b_n$，因此 $ b_n = b_1\cdot 3^{n-1} = \left(2+\frac12\right)3^{n-1}=\frac{5}{2}3^{n-1} $ $ a_n = \frac{5}{2}3^{n-1}-\frac12 $

下面用 Sage 驗算（對前幾項檢查）。

var('n')
a_closed = (5/2)*3^(n-1) - 1/2

# 檢查 n=1..8 是否符合
check = [(m, seq[m-1], a_closed.subs(n=m)) for m in range(1, 9)]
table(check, header_row=['n', 'a_n (recur)', 'a_n (closed)'])

n	a_n (recur)	a_n (closed)
$1$	$2$	$2$
$2$	$7$	$7$
$3$	$22$	$22$
$4$	$67$	$67$
$5$	$202$	$202$
$6$	$607$	$607$
$7$	$1822$	$1822$
$8$	$5467$	$5467$

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5.7 遞迴的收斂與極限直覺（預告第 9 章）

很多題目會問：若遞迴收斂到 L，求 L。

典型例： $$ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n} \right),\ a_1=2 $$ 這是牛頓法求 $\sqrt{2}$ 的版本，會收斂到 $\sqrt{2}$。

先用程式列項 + 觀察，再用「假設極限存在」求 L。

def newton_sqrt2(a1=2, N=8):
    a = RR(a1)  # 用實數近似型別 RR
    seq = [a]
    for _ in range(1, N):
        a = 0.5*(a + 2/a)
        seq.append(a)
    return seq

seq = newton_sqrt2(2, 10)
seq

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[2.00000000000000, 1.50000000000000, 1.41666666666667, 1.41421568627451, 1.41421356237469, 1.41421356237309, 1.41421356237309, 1.41421356237309, 1.41421356237309, 1.41421356237309\right]$$

# 以表格看收斂
table([[n, seq[n-1]] for n in range(1, 11)], header_row=['n', 'a_n'])

n	a_n
$1$	$2.00000000000000$
$2$	$1.50000000000000$
$3$	$1.41666666666667$
$4$	$1.41421568627451$
$5$	$1.41421356237469$
$6$	$1.41421356237309$
$7$	$1.41421356237309$
$8$	$1.41421356237309$
$9$	$1.41421356237309$
$10$	$1.41421356237309$

# 與 sqrt(2) 比較
[s - sqrt(2).n() for s in seq]

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[0.585786437626905, 0.0857864376269049, 0.00245310429357137, 2.12390141451912 \times 10^{-6}, 1.59472435257157 \times 10^{-12}, -2.22044604925031 \times 10^{-16}, -2.22044604925031 \times 10^{-16}, -2.22044604925031 \times 10^{-16}, -2.22044604925031 \times 10^{-16}, -2.22044604925031 \times 10^{-16}\right]$$

若假設 $a_n\to L$，兩邊取極限： $ L=\frac12\left(L+\frac{2}{L}\right)\Rightarrow L=\frac{2}{L}\Rightarrow L^2=2 $ 又因為數列正值，取 $L=\sqrt{2}$。

Sage 可以幫你把這步代數整理得很乾淨。

var('L')
solve(L == 1/2*(L + 2/L), L)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[L = -\sqrt{2}, L = \sqrt{2}\right]$$

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5.8 常見技巧：用差分（difference）觀察規律

若你不確定數列是不是多項式型態，可以先看：

• 一階差分：$a_{n+1}-a_n$
• 二階差分：$(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)$

例：$a_n = n^2$ 的二階差分是常數 2。

def diffs(seq):
    return [seq[i+1]-seq[i] for i in range(len(seq)-1)]

seq = [n^2 for n in range(1, 11)]
d1 = diffs(seq)
d2 = diffs(d1)
seq, d1, d2

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\left[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\right], \left[3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\right], \left[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2\right]\right)$$

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5.9 本章小結：你應該具備的能力

你現在應該能：

• 用 list/表格/點圖快速列出數列前 N 項並觀察
• 用 sum 做符號求和，並用 simplify 驗算你的公式
• 對望遠鏡求和，先列項找結構，再化簡得到閉式
• 用程式處理遞迴，並用「平移變等比」等技巧猜閉式後驗算
• 用數值實驗建立收斂直覺，並能回到代數推導極限

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練習題（附提示）

1. 等差：$a_1=7,d=-3$，求 $a_{20}$ 與 $S_{20}$。
   提示：用公式與程式列項互相驗算。

2. 等比：$a_1=2,r=3$，求 $S_{10}$。
   提示：用 sum(a1*r^(k-1), k, 1, n) 推出一般式再代入。

3. 望遠鏡：計算

$ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)}\right) $ 提示：部分分式：$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$。

4. 遞迴列項：$a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+3$，列出前 8 項並猜閉式。
   提示：用本章 5.6 的平移技巧，$c=\frac{q}{p-1}$。

5.（挑戰）收斂判斷：定義

$ a_{n+1}=\frac{a_n+3}{a_n+1},\quad a_1=1 $ 先列項觀察是否收斂，再假設極限存在求 L。
提示：解 $L=\frac{L+3}{L+1}$。

下一章（第 6 章）我們會進入「函數基本觀念與圖形」：
你會把數列的觀察方式（表格、圖形、趨勢）直接延伸到函數。