第 6 章　函數基本觀念與圖形¶

（適用：台灣高中～大一；目標：用 SageMath 把「解析式—圖形—性質」連起來，並養成檢查定義域的習慣）

6.1 這一章要學會的事¶

你在高中到大一會一直做「函數分析」：

  • 由解析式判斷 定義域、值域、零點、截距
  • 看圖形理解 單調、對稱、極值、漸近線
  • 解方程/不等式其實常等同於 找交點或比較高低

SageMath 的作用不是取代你，而是：

  • 幫你畫圖、掃參數、快速驗算
  • 讓你把一個想法立刻變成可視化的實驗

本章會用大量小例子建立「函數工作台」的習慣。

6.2 函數、式子、與變數：在 Sage 裡怎麼表示？¶

在 Sage 裡常見兩種寫法：

  1. 把函數當成式子（expression）：f = x^2+1
  2. 把函數寫成可呼叫的函數（callable）：f(x) = x^2+1

兩者都能畫圖，但第二種更像數學的 $f(x)$。

下面示範差異。

In [1]:
var('x')
f_expr = x^2 + 1
f_expr
Out[1]:
Out[1]:
In [2]:
var('x')
f(x) = x^2 + 1
f(3), f(x)

建議：初學階段兩種都會用到。

  • 做符號操作（展開、因式分解）時，expression 很方便
  • 做代入、畫圖時，callable 也很直覺

6.3 定義域（domain）：先問「哪裡能代」再談其他¶

高中常見的定義域限制：

  • 分母不能為 0
  • 根號內要 $\ge 0$（在實數範圍）
  • 對數內要 $>0$（若談到 log）

例題 1：分式函數¶

$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} $$ 定義域：$x\ne 1$

Sage 會把它化簡成 $x+1$，但你要自己記得「原本缺一點」。

In [3]:
var('x')
f_expr = (x^2 - 1)/(x - 1)
simplify(f_expr)

畫圖看「可去不連續」：洞洞（hole）¶

如果直接畫化簡後的 $x+1$，你看不到洞。
所以建議你：

  • 用原式畫圖，並設定視窗（避免太大）
  • 或者把洞的位置自己標記出來

下面示範原式畫圖（Sage 會把分母=0 的點自動斷開）。

In [4]:
plot(f_expr, (x, -2, 4), ymin=-2, ymax=6)

6.4 函數圖形的基本元素：截距、零點、交點¶

(A) x 截距 / 零點：解 f(x)=0¶

例：$f(x)=x^2-4x+3$ 的零點在哪？

In [5]:
var('x')
f = x^2 - 4*x + 3
solve(f == 0, x)
In [6]:
plot(f, (x, -1, 5)) + plot(0, (x, -1, 5))

(B) y 截距：算 f(0)¶

例：同一個 f(x) 的 y 截距。

In [7]:
f(x=0)

(C) 兩函數交點：解 f(x)=g(x)¶

例：找 $x^2-4x+3$ 與 $x-1$ 的交點。

In [8]:
g = x - 1
solve(f == g, x)
In [9]:
plot(f, (x, -1, 5)) + plot(g, (x, -1, 5))

6.5 常見函數族：一次、二次、反比例、根號、指數（簡介）¶

本書後面章節會深入各種變換（第 7 章）。
這裡先建立你對「基本形狀」的直覺。

(A) 一次函數：斜率與截距¶

$ y=mx+b $

In [10]:
var('x')
m, b = 2, -1
line = m*x + b
plot(line, (x, -4, 4))

(B) 二次函數：開口方向、頂點¶

$ y=ax^2+bx+c $ 頂點 x 座標：$-\frac{b}{2a}$（a≠0）

In [11]:
var('x')
a, b, c = 1, -4, 3
quad = a*x^2 + b*x + c
vx = -b/(2*a)
vy = quad(x=vx)
vx, vy
In [12]:
plot(quad, (x, -1, 5)) + point((vx, vy), size=30)

(C) 反比例函數：漸近線¶

$ y=\frac{1}{x} $ 有垂直與水平漸近線：x=0, y=0

In [13]:
var('x')
plot(1/x, (x, -4, -0.2), ymin=-5, ymax=5) + plot(1/x, (x, 0.2, 4), ymin=-5, ymax=5)

(D) 根號函數：定義域從 0 開始¶

$ y=\sqrt{x} $

In [14]:
var('x')
plot(sqrt(x), (x, 0, 9))

6.6 單調性與極值：用圖形 +（預告）微分¶

在高中你常用：

  • 判斷二次函數的單調（看頂點）
  • 用不等式或觀察判斷其他函數

在大一你會用微分。

這裡先用「畫圖」快速觀察，並用差分/取樣檢查趨勢。

例：觀察 $h(x)=x^3-3x$ 在 [-3,3] 的單調區間。

In [15]:
var('x')
h = x^3 - 3*x
plot(h, (x, -3, 3))
In [16]:
# 用取樣點看單調性（粗略）
sample = [(t, N(h(x=t))) for t in srange(-3, 3.1, 0.5)]
sample[:8], sample[-8:]

更可靠的方法（第 10 章會教完整）是：

  • 算導數 $h'(x)=3x^2-3$
  • 解 $h'(x)=0$ 得臨界點 $x=\pm 1$
  • 分段判號決定單調

先預告一下用 Sage 做：

In [17]:
dh = diff(h, x)
dh, solve(dh == 0, x)

6.7 奇偶性與對稱：用代入驗算¶

  • 偶函數：$f(-x)=f(x)$（y 軸對稱）
  • 奇函數：$f(-x)=-f(x)$（原點對稱）

例：判斷 $f(x)=x^3-3x$ 是奇/偶？

In [18]:
var('x')
f = x^3 - 3*x
simplify(f.subs(x=-x) - f), simplify(f.subs(x=-x) + f)

第一個差是 0 → f(-x)=f(x)（偶）
第二個差是 0 → f(-x)=-f(x)（奇）

本例第二個為 0，所以是奇函數。

6.8 分段函數（piecewise）：絕對值與更多模型¶

高中常見：$|x|$、分段計價、取整等。
在 Sage 裡可以用 abs(x) 或明確寫分段。

例：畫 $y=|x-1|$。

In [19]:
var('x')
plot(abs(x-1), (x, -4, 6))

如果你想明確寫分段，可以用 piecewise（學會看就好）。

In [20]:
var('x')
pw = piecewise([((x < 1), -(x-1)), ((x >= 1), (x-1))])
pw
In [21]:
plot(pw, (x, -4, 6))

6.9 反函數的預備：先理解「一對一」與水平線測試¶

反函數存在的必要條件（在某段區間上）是：函數一對一。

圖形上常用「水平線測試」：

  • 任一水平線最多交一次 → 一對一 → 可定義反函數

例：$y=x^2$ 在全體實數不一對一，但在 $x\ge 0$ 上一對一。

先畫出來看看。

In [22]:
var('x')
plot(x^2, (x, -3, 3))

在第 8 章會正式處理反函數與複合函數。

6.10 本章小結：把「式子—圖形—性質」串起來¶

你現在應該能：

  • 在 Sage 裡建立函數（expression / callable）並代入求值
  • 先檢查定義域，再做化簡、畫圖與解題
  • 用 solve 找零點、交點，用圖形驗證合理性
  • 觀察並驗算奇偶性、對稱性
  • 用圖形/取樣建立單調與極值的直覺（並知道後面用微分補上嚴謹）

練習題（附提示）¶

  1. 定義域與圖形：
    畫 $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ 在 [-4,4] 的圖，並說明：
    (a) 定義域限制 \n(b) 垂直/水平漸近線在哪裡？

  2. 交點問題：
    找 $y=x^2-2x$ 與 $y=2x$ 的交點，並畫出兩條曲線。

  3. 奇偶性：
    判斷 $f(x)=x^4-3x^2$ 是奇/偶/都不是。
    提示：算 simplify(f(-x)-f(x)) 與 simplify(f(-x)+f(x))。

  4. 分段/絕對值：
    畫 $y=|x+1|+|x-2|$，並猜它的最小值大概在哪裡。
    提示：先畫圖，再用取樣點粗找。

  5. （挑戰）值域觀察：
    考慮 $f(x)=x^2-4x+7$。
    (a) 用完成平方找最小值 (b) 用圖形驗證
    提示：$(x-2)^2+3$。

下一章（第 7 章）我們會系統化學「函數的平移、伸縮與變化」：
用參數掃描與疊圖，快速看出圖形怎麼變。