第 7 章　函數的平移、伸縮與變化¶

（適用：台灣高中～大一；目標：用參數化與疊圖建立直覺，並能把圖形變化翻譯回解析式）

7.1 本章核心：看懂「y = a f(b(x-h)) + k」¶

高中最重要的圖形變換公式之一：

$ y = a\,f\big(b(x-h)\big) + k $

  • 水平平移：$x\to x-h$（往右 h；往左就是 h<0）
  • 垂直平移：$+k$（往上 k；往下就是 k<0）
  • 垂直伸縮/翻轉：乘上 a（|a|>1 拉長，0<|a|<1 壓扁，a<0 上下翻轉）
  • 水平伸縮/翻轉：把 x 乘上 b（|b|>1 水平壓縮，0<|b|<1 水平拉伸，b<0 左右翻轉）

本章要做的事：
用 SageMath 的「參數掃描 + 疊圖」讓你一次看懂整族圖形。

7.2 疊圖基本模板（你會一直用）¶

在 Sage 裡可以用 plot(...) + plot(...) 疊圖。
如果想一次疊很多張，可以用 sum([plot(...) for ...])。

下面先用最基本函數 $f(x)=x^2$ 做示範。

In [1]:
var('x')
base = x^2
plot(base, (x, -4, 4))
Out[1]:
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7.3 平移：左右（x-h）與上下（+k）¶

(A) 水平平移：f(x-h)¶

例：畫 $y=(x-h)^2$，比較 h=-2,-1,0,1,2。

In [2]:
var('x')
plots = sum([plot((x-h)^2, (x, -5, 5)) for h in [-2, -1, 0, 1, 2]])
plots
Out[2]:
No description has been provided for this image

觀察：

  • $(x-h)^2$ 的頂點在 $x=h$
  • 所以 h 往右變大，頂點就往右移

(B) 垂直平移：f(x)+k¶

例：畫 $y=x^2+k$，比較 k=-3,-1,0,2。

In [3]:
var('x')
plots = sum([plot(x^2 + k, (x, -4, 4)) for k in [-3, -1, 0, 2]])
plots
Out[3]:
No description has been provided for this image

7.4 垂直伸縮/翻轉：y = a f(x)¶

例：畫 $y=a x^2$，比較 a=2,1,1/2,-1。

In [4]:
var('x')
plots = sum([plot(a*x^2, (x, -4, 4), ymin=-6, ymax=6) for a in [2, 1, 1/2, -1]])
plots
Out[4]:
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觀察：

  • |a| 變大 → 圖形變「瘦」（更陡），y 方向拉長
  • 0<|a|<1 → 圖形變「胖」（更平），y 方向壓扁
  • a<0 → 對 x 軸翻轉

7.5 水平伸縮/翻轉：y = f(bx)¶

這裡最容易記錯：

  • $f(bx)$：b>1 會讓圖形水平壓縮（變窄）
  • $f(x/b)$：b>1 會讓圖形水平拉伸（變寬）

例：比較 y = (bx)^2 = b^2 x^2 的水平效果¶

如果只看 $x^2$，水平壓縮其實等價於垂直拉長（因為平方）。
為了看出「純水平」的直覺，建議用非同質函數，如 $f(x)=\sin x$。

In [5]:
var('x')
plots = sum([plot(sin(b*x), (x, -2*pi, 2*pi)) for b in [1/2, 1, 2, -1]])
plots
Out[5]:
No description has been provided for this image

觀察：

  • b=2：週期變短（更密）→ 水平壓縮
  • b=1/2：週期變長（更稀）→ 水平拉伸
  • b=-1：左右翻轉（其實 sin 是奇函數，會看到對稱效果）

7.6 綜合變換：y = a f(b(x-h)) + k¶

我們用 $f(x)=\sin x$，一次看四個參數的影響。

例：固定 a=2, b=3, h=1, k=-1： $ y = 2\sin(3(x-1)) - 1 $

In [6]:
var('x')
y = 2*sin(3*(x-1)) - 1
plot(y, (x, -2, 4))
Out[6]:
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你可以逐個改參數做實驗：

  • 改 a：振幅
  • 改 b：週期
  • 改 h：水平平移
  • 改 k：垂直平移

下面用「固定三個、掃描一個」的方式看得更清楚。

In [7]:
var('x')
# 固定 b=2,h=0,k=0，掃描 a
plots = sum([plot(a*sin(2*x), (x, -2*pi, 2*pi)) for a in [1/2, 1, 2, -1]])
plots
Out[7]:
No description has been provided for this image
In [8]:
var('x')
# 固定 a=1,h=0,k=0，掃描 b
plots = sum([plot(sin(b*x), (x, -2*pi, 2*pi)) for b in [1/2, 1, 2, 3]])
plots
Out[8]:
No description has been provided for this image
In [9]:
var('x')
# 固定 a=1,b=1,k=0，掃描 h（水平平移）
plots = sum([plot(sin(x-h), (x, -2*pi, 2*pi)) for h in [-pi/2, 0, pi/2, pi]])
plots
Out[9]:
No description has been provided for this image
In [10]:
var('x')
# 固定 a=1,b=1,h=0，掃描 k（垂直平移）
plots = sum([plot(sin(x) + k, (x, -2*pi, 2*pi)) for k in [-2, -1, 0, 1]])
plots
Out[10]:
No description has been provided for this image

7.7 由圖形回推解析式：三個常見任務¶

任務 A：看出頂點（或基準點）¶

若你知道 $y=(x-h)^2+k$ 的頂點在 (h,k)，就能回推式子。

例：頂點在 (3,-2)，開口向上、形狀與 $x^2$ 一樣。 答案：$y=(x-3)^2-2$。

用 Sage 畫圖驗算。

In [11]:
var('x')
plot((x-3)^2 - 2, (x, -1, 7), ymin=-4, ymax=10) + point((3, -2), size=40)
Out[11]:
No description has been provided for this image

任務 B：已知零點（根）與開口方向（或縮放）¶

若二次函數有根 r1, r2，且開口向上/下，可寫成： $ y=a(x-r_1)(x-r_2) $ 再用任一點代入求 a。

例：圖形過 (0,3)，且根為 1 與 3，開口向上。 $ y=a(x-1)(x-3),\ y(0)=3 \Rightarrow 3=a(-1)(-3)=3a\Rightarrow a=1 $ 所以 $y=(x-1)(x-3)$。

用 Sage 驗算。

In [12]:
var('x')
y = (x-1)*(x-3)
y(0), factor(y)
Out[12]:
In [13]:
plot(y, (x, -1, 5)) + point((0, 3), size=40)
Out[13]:
No description has been provided for this image

任務 C：週期、振幅、平移（sin/cos）¶

一般形式： $ y=a\sin(b(x-h))+k $

  • 振幅 = |a|
  • 週期 = $ \frac{2\pi}{|b|} $
  • 中線（midline）= y=k
  • 水平位移 = h

你可以用圖形讀出「中線與最高/最低」來猜 a,k；再用週期猜 b；最後用特徵點猜 h。

下面做一個例子：
假設你觀察到：最高 3、最低 -1 → 中線 1、振幅 2
週期是 $ \pi $ → $ \frac{2\pi}{|b|}=\pi \Rightarrow |b|=2 $

所以先猜：$y=2\sin(2(x-h))+1$
再用某個已知點（例如在 x=0 時 y=1 且斜率向上）推 h。

我們用 h=0 當作示範，畫出來看看形狀。

In [14]:
var('x')
plot(2*sin(2*x) + 1, (x, -2*pi, 2*pi), ymin=-3, ymax=5)
Out[14]:
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7.8 絕對值與圖形變換：V 形、反射與折線¶

(A) |x| 與 |x-h| + k¶

$ y=|x| $ 是 V 形，頂點在 (0,0)。
$ y=|x-h|+k $ 頂點平移到 (h,k)。

例：比較 $|x|, |x-2|, |x+1|-1$。

In [15]:
var('x')
plots = plot(abs(x), (x, -5, 5)) + plot(abs(x-2), (x, -5, 5)) + plot(abs(x+1)-1, (x, -5, 5))
plots
Out[15]:
No description has been provided for this image

(B) y = |f(x)| 與 y = f(|x|)¶

  • $y=|f(x)|$：把在 x 軸下方的部分「翻上去」
  • $y=f(|x|)$：把右半邊（x≥0）的圖形「複製到左邊」（y 軸對稱）

例：用 $f(x)=x-1$ 觀察。

In [16]:
var('x')
f = x - 1
p1 = plot(abs(f), (x, -4, 4), ymin=-3, ymax=3)
p2 = plot((abs(x) - 1), (x, -4, 4), ymin=-3, ymax=3)
p1 + p2
Out[16]:
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7.9 參數掃描的進階：做「圖形小動畫」（用滑桿的概念）¶

在某些 Sage/Jupyter 環境可以用互動滑桿（互動功能視環境而定）。
本書先用「列出多張疊圖」替代互動：一樣能建立直覺。

例：觀察 $y=(x-h)^2$ 隨 h 變化的「頂點軌跡」。

In [17]:
var('x')
Hs = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]
plots = sum([plot((x-h)^2, (x, -6, 6), ymin=-1, ymax=20) for h in Hs])
vertex_points = sum([point((h, 0), size=30) for h in Hs])
plots + vertex_points
Out[17]:
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7.10 本章小結：一看到式子就能說出圖形怎麼變¶

你現在應該能：

  • 把 $y=a f(b(x-h))+k$ 的每個參數對應到圖形變化
  • 用疊圖與參數掃描快速建立直覺
  • 從圖形特徵（頂點、根、振幅、週期、中線）回推解析式
  • 理解 |f(x)|、f(|x|) 的幾何意義

練習題（附提示）¶

  1. 平移：把 $y=x^2$ 向右 2、向上 3，寫出新函數並畫圖驗證。
    提示：$y=(x-2)^2+3$。

  2. 伸縮：把 $y=\sqrt{x}$

(a) 垂直拉長 2 倍
(b) 水平拉伸 3 倍
寫出新函數並畫圖。
提示：垂直：$2\sqrt{x}$；水平拉伸 3 倍：$\sqrt{x/3}$。

  1. 綜合：寫出 $y=-\frac12 (x+1)^2 + 4$ 的圖形特徵：
    頂點、開口方向、左右/上下平移、垂直伸縮倍率。

  2. 絕對值變換：畫 $y=|x^2-4|$，並說明它和 $y=x^2-4$ 的差別。
    提示：x 軸下方翻上去。

5.（挑戰）由圖回推：
若某二次函數頂點在 (1,-3)，且通過 (0,-1)，求其解析式。
提示：先寫 $y=a(x-1)^2-3$，代入 (0,-1) 解 a。

下一章（第 8 章）我們會處理「反函數與複合函數」：
你會用第 7 章的變換直覺，快速判斷反函數圖形與複合後的形狀。