第 8 章　反函數與複合函數¶

（適用：台灣高中～大一；目標：理解一對一、定義域限制，並用 SageMath 驗算反函數與複合後的結果）

8.1 本章的兩個主角¶

(A) 複合函數（composition）¶

$ (f\circ g)(x)=f(g(x)) $

重點不是「記符號」，而是：先算誰？再算誰？

(B) 反函數（inverse function）¶

若 $f$ 為一對一函數，存在 $f^{-1}$ 使得 $ f(f^{-1}(x))=x,\quad f^{-1}(f(x))=x $

反函數的本質是：交換輸入與輸出。

8.2 複合函數：先內後外（inside → outside）¶

例 1：基本計算¶

令 $ f(x)=2x+1,\quad g(x)=x^2-3 $

求：$(f\circ g)(x)$ 與 $(g\circ f)(x)$。

In [1]:
var('x')
f(x) = 2*x + 1
g(x) = x^2 - 3

fog = f(g(x))
gof = g(f(x))

fog, gof
Out[1]:
\(\displaystyle \left(2 \, x^{2} - 5, {\left(2 \, x + 1\right)}^{2} - 3\right)\)

觀察：

  • $f\circ g \neq g\circ f$（通常不交換）
  • 寫複合時一定要加括號，避免誤會

8.3 複合函數的定義域¶

複合函數的定義域必須同時滿足：

  • $x$ 在 $g$ 的定義域內
  • $g(x)$ 在 $f$ 的定義域內

例 2：含根號的情況¶

令 $ f(x)=\sqrt{x},\quad g(x)=x-2 $

$(f\circ g)(x)=\sqrt{x-2}$，定義域是 $x\ge 2$。

In [2]:
var('x')
f(x) = sqrt(x)
g(x) = x - 2

fog = f(g(x))
fog
Out[2]:
\(\displaystyle \sqrt{x - 2}\)

畫圖看看定義域的影響。

In [3]:
plot(fog, (x, 2, 8))
Out[3]:
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8.4 用 Sage 驗算複合函數是否正確¶

你手算 $(f\circ g)(x)$ 後，可以用：

  • simplify(你算的式子 - f(g(x)))

來驗算是否為 0。

In [4]:
# 假設你手算得到 fog_hand
fog_hand = 2*(x^2 - 3) + 1
simplify(fog_hand - fog)
Out[4]:
\(\displaystyle 2 \, x^{2} - \sqrt{x - 2} - 5\)

8.5 反函數的存在條件：一對一（injective）¶

不是每個函數都有反函數。

圖形判斷法：水平線測試¶

  • 任一水平線最多交一次 → 一對一 → 有反函數

例：$y=x^2$ 在整個實數範圍不是一對一。

In [5]:
var('x')
plot(x^2, (x, -3, 3))
Out[5]:
No description has been provided for this image

但若限制定義域 $x\ge 0$，就變成一對一。

8.6 求反函數的標準流程（高中必會）¶

給定 $y=f(x)$：

  1. 先寫 $y=f(x)$
  2. 交換 $x,y$
  3. 解出 $y$
  4. 必要時標註新定義域

例 3：一次函數¶

$ f(x)=2x-3 $

求 $f^{-1}(x)$。

In [6]:
var('x y')
# 步驟 1~3：交換並解
solve(y == 2*x - 3, x)
Out[6]:
\(\displaystyle \left[x = \frac{1}{2} \, y + \frac{3}{2}\right]\)

解得 $x=\frac{y+3}{2}$，所以 $ f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2} $

用 Sage 驗算：

In [7]:
f(x) = 2*x - 3
finv(x) = (x + 3)/2

simplify(f(finv(x)) - x), simplify(finv(f(x)) - x)
Out[7]:
\(\displaystyle \left(0, 0\right)\)

8.7 含平方或根號的反函數（要限制定義域）¶

例 4：$f(x)=x^2$（限制 $x\ge 0$）¶

$ y=x^2,\ x\ge 0 \Rightarrow x=\sqrt{y} $

所以 $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$。

In [8]:
var('x')
f(x) = x^2
finv(x) = sqrt(x)

# 驗算（注意只在 x>=0 有意義）
simplify(f(finv(x)) - x)
Out[8]:
\(\displaystyle 0\)

圖形上，反函數就是「關於 y=x 對稱」。

In [9]:
plot(x^2, (x, 0, 4)) + plot(sqrt(x), (x, 0, 4)) + plot(x, (x, 0, 4))
Out[9]:
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8.8 複合與反函數的關係¶

若 $f$ 可逆，則： $ f\circ f^{-1} = \text{id},\quad f^{-1}\circ f = \text{id} $

$\text{id}$ 代表恆等函數 (identity function)，不論輸入什麼 $\text{id}(x) = x$。

但要注意：

  • 定義域與值域要對得上
  • 若限制區間不同，結果可能不同

8.9 常見錯誤提醒¶

  1. 忘記限制定義域（尤其平方、根號）
  2. 以為所有函數都有反函數
  3. 把 $(f\circ g)^{-1}$ 誤當成 $f^{-1}\circ g^{-1}$

事實是： $ (f\circ g)^{-1} = g^{-1}\circ f^{-1} $

可以用 Sage 驗算。

In [10]:
var('x')
f(x) = 2*x + 1
g(x) = x - 3

# 計算 (f∘g)^(-1)
fog = f(g(x))
solve(y == fog, x)
Out[10]:
\(\displaystyle \left[x = \frac{1}{2} \, y + \frac{5}{2}\right]\)

8.10 本章小結¶

你現在應該能：

  • 正確計算複合函數並檢查定義域
  • 理解一對一是反函數存在的關鍵
  • 用交換 x,y 的方法求反函數並驗算
  • 從圖形理解反函數是關於 y=x 的對稱
  • 知道 $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ 的意義

練習題（附提示）¶

  1. 已知 $f(x)=3x-5$，$g(x)=\sqrt{x}$，求 $(f\circ g)(x)$ 與其定義域。
  2. 求 $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ 的反函數，並標註定義域。
  3. 若 $f(x)=x^2$（限制 $x\le 0$），求反函數。
  4. 驗算：$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ 是否成立（注意定義域）。
    5.（挑戰）若 $f(x)=x^3+x$，說明為何它在全體實數上一對一，並用圖形輔助說明。

下一章（第 9 章）我們將進入「極限的直觀與符號操作」，
你會看到反函數與複合函數在極限與連續性中扮演的重要角色。