第 9 章　極限直觀與符號操作

（適用：台灣高中～大一；目標：用數值取樣與圖形建立極限直覺，並用 SageMath 做符號計算與嚴謹檢查）

9.1 本章主旨：極限＝「靠近」而不是「代入」

極限最常見的誤解：把 $ \lim_{x\to a} f(x) $ 當成「把 x=a 代入」。

正確觀念：看 x 接近 a（但不一定等於 a）時，f(x) 的趨勢。

SageMath 能幫你用三種方式看極限：

1. 數值取樣：用接近 a 的數值算 f(x)
2. 圖形觀察：畫出靠近 a 的局部圖
3. 符號極限：用 limit 做代數推導

重要：三者要互相交叉檢查。
圖形與數值提供直覺，符號推導給你結論與可證性。

---

9.2 數值取樣：用「左右靠近」看趨勢

例 1：$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

手算：因式分解後約分，得到 $\lim_{x\to 1}(x+1)=2$。

先用數值取樣建立直覺：

var('x')
f = (x^2 - 1)/(x - 1)

# 從左、從右靠近 1
left = [1 - 10^(-k) for k in range(1, 7)]
right = [1 + 10^(-k) for k in range(1, 7)]

table([[t, N(f(x=t))] for t in left], header_row=['x (left)', 'f(x)'])

x (left)	f(x)
$\frac{9}{10}$	$1.90000000000000$
$\frac{99}{100}$	$1.99000000000000$
$\frac{999}{1000}$	$1.99900000000000$
$\frac{9999}{10000}$	$1.99990000000000$
$\frac{99999}{100000}$	$1.99999000000000$
$\frac{999999}{1000000}$	$1.99999900000000$

table([[t, N(f(x=t))] for t in right], header_row=['x (right)', 'f(x)'])

x (right)	f(x)
$\frac{11}{10}$	$2.10000000000000$
$\frac{101}{100}$	$2.01000000000000$
$\frac{1001}{1000}$	$2.00100000000000$
$\frac{10001}{10000}$	$2.00010000000000$
$\frac{100001}{100000}$	$2.00001000000000$
$\frac{1000001}{1000000}$	$2.00000100000000$

你應該會看到兩邊都趨近 2。

接著用 Sage 的符號極限：

limit(f, x=1)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2$$

注意：原函數在 x=1 沒定義，但極限存在。這就是「可去不連續」。

---

9.3 圖形觀察：局部放大看洞洞與漸近線

同一個例子，畫在 x=1 附近：

plot(f, (x, 0.5, 1.5), ymin=0, ymax=4)

小技巧：遇到「看不清楚」就縮小區間，或設定 ymin/ymax。

---

9.4 一側極限：左右不一樣就「不存在」

例 2：$\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$

• x>0：$|x|/x=1$
• x<0：$|x|/x=-1$

所以左右極限不同，二側極限不存在。

用 Sage：

var('x')
g = abs(x)/x

# 左右極限
limit(g, x=0, dir='-'), limit(g, x=0, dir='+')

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-1, 1\right)$$

也可以用數值取樣驗證：

left = [-10^(-k) for k in range(1, 7)]
right = [10^(-k) for k in range(1, 7)]

table([[t, N(g(x=t))] for t in left], header_row=['x (left)', 'g(x)'])

x (left)	g(x)
$-\frac{1}{10}$	$-1.00000000000000$
$-\frac{1}{100}$	$-1.00000000000000$
$-\frac{1}{1000}$	$-1.00000000000000$
$-\frac{1}{10000}$	$-1.00000000000000$
$-\frac{1}{100000}$	$-1.00000000000000$
$-\frac{1}{1000000}$	$-1.00000000000000$

table([[t, N(g(x=t))] for t in right], header_row=['x (right)', 'g(x)'])

x (right)	g(x)
$\frac{1}{10}$	$1.00000000000000$
$\frac{1}{100}$	$1.00000000000000$
$\frac{1}{1000}$	$1.00000000000000$
$\frac{1}{10000}$	$1.00000000000000$
$\frac{1}{100000}$	$1.00000000000000$
$\frac{1}{1000000}$	$1.00000000000000$

---

9.5 無窮遠極限：水平漸近線的來源

例 3：$$\lim_{h \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2-3x}$$

手算策略：同除以最高次 $x^2$。

var('x')
h = (2*x^2 + 1)/(x^2 - 3*x)

limit(h, x=oo), limit(h, x=-oo)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(2, 2\right)$$

# 畫圖觀察水平漸近線（y=2）
plot(h, (x, -10, 10), ymin=-10, ymax=10)

在大一微積分裡，這和函數的「漸近行為」關係密切。

---

9.6 重要技巧：代數化簡（因式分解、通分、有理化）

極限計算常見卡點是 0/0 型。
解法通常是把式子變形成可約分形式。

例 4（有理化）：

$ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} $

手算：乘上共軛。

var('x')
expr = (sqrt(1+x) - 1)/x

# 直接算極限
limit(expr, x=0)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{2}$$

# 展示「有理化」後的等價形式並驗算
rationalized = (sqrt(1+x) - 1)/x * (sqrt(1+x) + 1)/(sqrt(1+x) + 1)
simplify(rationalized)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$$

# 驗算兩式差是否為 0（在共同定義域上）
simplify(expr - simplify(rationalized))

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$$

你應該得到極限 $1/2$。

---

9.7 夾擠定理的直覺：用數值與圖形輔助

經典例子： $ \lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)=0 $ 因為 $-|x|\le x\sin(1/x)\le |x|$，兩邊都趨近 0。

Sage 取樣會看到震盪但幅度縮小。

var('x')
f = x*sin(1/x)

# 取一些靠近 0 的點（避開 0）
pts = [10^(-k) for k in range(1, 7)] + [-10^(-k) for k in range(1, 7)]
table([[t, N(f(x=t))] for t in pts], header_row=['x', 'x*sin(1/x)'])

x	x*sin(1/x)
$\frac{1}{10}$	$-0.0544021110889370$
$\frac{1}{100}$	$-0.00506365641109759$
$\frac{1}{1000}$	$0.000826879540532002$
$\frac{1}{10000}$	$-0.0000305614388888252$
$\frac{1}{100000}$	$3.57487979720165 \times 10^{-7}$
$\frac{1}{1000000}$	$-3.49993502171293 \times 10^{-7}$
$-\frac{1}{10}$	$-0.0544021110889370$
$-\frac{1}{100}$	$-0.00506365641109759$
$-\frac{1}{1000}$	$0.000826879540532002$
$-\frac{1}{10000}$	$-0.0000305614388888252$
$-\frac{1}{100000}$	$3.57487979720165 \times 10^{-7}$
$-\frac{1}{1000000}$	$-3.49993502171293 \times 10^{-7}$

# 用窄區間畫圖（震盪會很密，圖形只提供感覺）
plot(f, (x, -0.1, 0.1), ymin=-0.1, ymax=0.1)

符號極限也能算：

limit(f, x=0)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0$$

---

9.8 連續性的判斷：極限等於函數值

函數在 x=a 連續的條件：

1. f(a) 有定義
2. $\lim_{x o a} f(x)$ 存在
3. $\lim_{x o a} f(x)=f(a)$

例 5：分段函數連續性

$$ f(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2\\ x^2+b, & x\ge 2 \end{cases} $$ 問：a,b 多少使得在 x=2 連續？

var('a b x')
# 左極限：2a+1
# 右極限/值：4+b
solve(2*a + 1 == 4 + b, [a, b])

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left[a = \frac{1}{2} \, r_{1} + \frac{3}{2}, b = r_{1}\right]\right]$$

方程只有一條，所以解是一條直線關係：$b=2a-3$。
如果題目再加「可微」條件（第 10 章），就會多一條方程可解出 a,b。

---

9.9 常見型態整理（高中到大一最常遇到）

1. 0/0 型：因式分解、通分、約分、有理化
2. ∞/∞ 型：同除最高次或提取最大成長因子
3. 震盪型：夾擠定理（例如 $\sin(1/x)$）
4. 分段型：左右極限分開算
5. 含參數：用連續/極限條件解參數

---

9.10 本章小結：極限的可靠工作流

你現在應該能：

• 用數值取樣 + 圖形建立極限直覺
• 用 limit 做符號極限並解讀輸出
• 面對 0/0 型時，知道該用哪種變形（分解/通分/有理化）
• 會算左右極限並判斷二側極限是否存在
• 用「極限=函數值」處理連續性與參數題

---

練習題（附提示）

1. 計算 $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$。
   提示：因式分解約分。

2. 計算 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。
   提示：用 limit(sin(x)/x, x=0)，並用取樣驗算。

3. 判斷極限是否存在：$\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$。
   提示：取樣會看到不收斂；符號極限也會反映。

4. 無窮遠極限：$\lim_{x\to\infty}\frac{3x-1}{2x+5}$。
   提示：同除 x。

5.（挑戰）參數連續： \n$ f(x)= \begin{cases} x+a,& x<1\\ bx^2,& x\ge 1 \end{cases} $ 找 a,b 使 f 在 x=1 連續。
提示：左極限 = 1+a；右值 = b。

下一章（第 10 章）我們將進入「導數與微分」：
你會看到導數其實就是一種極限，而且 Sage 能幫你同時做符號推導與圖形直覺。