SageMath 示範：物理學的平面拋體運動（Projectile Motion）

本 notebook 用 SageMath（符號計算 + 數值 + 圖形）說明經典的「平面拋體運動」：

• 建立運動方程（含參數）
• 推導軌跡方程（消去時間）
• 計算飛行時間、射程、最高點
• 用圖形驗證並做參數掃描

假設：無空氣阻力、重力加速度恆定、發射點與落點在同一高度（除非另行設定）。

1. 物理模型與符號設定

1.1 參數與變數

• $t$：時間（秒）
• $x(t), y(t)$：位置（公尺）
• $v_0$：初速度大小（m/s）
• $\theta$：仰角（弧度）
• $g$：重力加速度（m/s²），地表常用 $g\approx 9.8$

1.2 初始條件（可改）

• 初始位置：$(x_0,y_0)$
• 初速度分量： $ v_{x0}=v_0\cos\theta,\quad v_{y0}=v_0\sin\theta $

1.3 運動方程（無阻力）

$ x(t)=x_0+v_{x0}t,\quad y(t)=y_0+v_{y0}t-\frac12gt^2 $

下面用 SageMath 建立符號式。

# 符號變數
var('t v0 theta g x0 y0')

# 速度分量
vx0 = v0*cos(theta)
vy0 = v0*sin(theta)

# 位置隨時間
x_t = x0 + vx0*t
y_t = y0 + vy0*t - (g/2)*t^2

x_t, y_t

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(t v_{0} \cos\left(\theta\right) + x_{0}, -\frac{1}{2} \, g t^{2} + t v_{0} \sin\left(\theta\right) + y_{0}\right)$$

2. 消去時間得到軌跡方程（拋物線）

由 $x(t)=x_0+v_0\cos\theta\,t$ 得 $ t=\frac{x-x_0}{v_0\cos\theta} $ 代入 $y(t)$ 得到 $y$ 與 $x$ 的關係（拋物線）。

用 Sage 直接做代入與化簡。

var('x y')

t_expr = (x - x0)/(v0*cos(theta))
y_of_x = y0 + vy0*t_expr - (g/2)*t_expr^2
y_of_x_simplified = simplify(y_of_x)
y_of_x_simplified

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}y_{0} + \frac{{\left(x - x_{0}\right)} \sin\left(\theta\right)}{\cos\left(\theta\right)} - \frac{g {\left(x - x_{0}\right)}^{2}}{2 \, v_{0}^{2} \cos\left(\theta\right)^{2}}$$

這就是常見的拋體軌跡： $ y = y_0 + (x-x_0)\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}(x-x_0)^2 $

你可以用 simplify(...) 驗算與課本公式一致。

---

3. 飛行時間、最高點、射程（同高度落地）

3.1 落地條件（同高度）

若 $y_0=0$ 且落地高度也是 0：令 $y(t)=0$ 解 t（非零解即飛行時間）

$ 0 = v_0\sin\theta\,t-\frac12gt^2 \Rightarrow t_f=\frac{2v_0\sin\theta}{g} $

3.2 射程（range）

$ R = x(t_f)-x_0 = v_0\cos\theta\cdot t_f = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} $

3.3 最高點

速度 y 分量： $ v_y(t)=v_0\sin\theta-gt $ 最高點 $v_y=0\Rightarrow t_{top}=v_0\sin\theta/g$

最高高度（相對 y0）： $ H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} $

下面用 Sage 解與驗算。

# 先設定常用條件：x0=0, y0=0
x0_val, y0_val = 0, 0

y_t0 = y_t.subs({x0:x0_val, y0:y0_val})
# 解 y(t)=0 的 t
sol_t = solve(y_t0 == 0, t)
sol_t

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = \frac{2 \, v_{0} \sin\left(\theta\right)}{g}, t = 0\right]$$

# 取非零解作為飛行時間 t_f
tf = [s.rhs() for s in sol_t if s.rhs() != 0][0]
tf_simplified = simplify(tf)
tf_simplified

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{2 \, v_{0} \sin\left(\theta\right)}{g}$$

# 射程 R = x(tf) - x0
x_t0 = x_t.subs({x0:x0_val})
R = simplify(x_t0.subs(t=tf_simplified) - x0_val)
R

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{2 \, v_{0}^{2} \cos\left(\theta\right) \sin\left(\theta\right)}{g}$$

# 最高點時間與高度
vy_t = diff(y_t0, t)
t_top = solve(vy_t == 0, t)[0].rhs()
H = simplify(y_t0.subs(t=t_top))

vy_t, t_top, H

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-g t + v_{0} \sin\left(\theta\right), \frac{v_{0} \sin\left(\theta\right)}{g}, \frac{v_{0}^{2} \sin\left(\theta\right)^{2}}{2 \, g}\right)$$

---

4. 數值例子：畫出軌跡、標記最高點與落點

設定：

• $v_0=20$ m/s
• $\theta=45^\circ$
• $g=9.8$ m/s²
• $x_0=y_0=0$

我們同時用：

• 參數式：$(x(t),y(t))$
• 軌跡式：$y(x)$

並標出：最高點、落點。

# 數值參數
v0_num = 20
theta_num = pi/4
g_num = 9.8

# 代入
x_num = x_t.subs({x0:0, v0:v0_num, theta:theta_num})
y_num = y_t.subs({x0:0, y0:0, v0:v0_num, theta:theta_num, g:g_num})

# 飛行時間、射程、最高點（數值）
tf_num = N(tf_simplified.subs({v0:v0_num, theta:theta_num, g:g_num}))
R_num = N(R.subs({v0:v0_num, theta:theta_num, g:g_num}))
t_top_num = N(t_top.subs({v0:v0_num, theta:theta_num, g:g_num}))
H_num = N(H.subs({v0:v0_num, theta:theta_num, g:g_num}))

tf_num, R_num, t_top_num, H_num

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(2.88615012729203, 40.8163265306122, 1.44307506364602, 10.2040816326531\right)$$

# 參數式 2D 圖：t 從 0 到 tf
traj = parametric_plot((x_num, y_num), (t, 0, tf_num), thickness=2)

# 標記點：起點、最高點、落點
start = point((0, 0), size=40)
top_pt = point((N(x_num.subs(t=t_top_num)), H_num), size=50)
end_pt = point((R_num, 0), size=40)

traj + start + top_pt + end_pt

你也可以畫出 $y(x)$ 的顯式拋物線（在 x ∈ [0,R]）：

y_x_num = y_of_x_simplified.subs({x0:0, y0:0, v0:v0_num, theta:theta_num, g:g_num})
plot(y_x_num, (x, 0, R_num), thickness=2)

---

5. 參數掃描：不同仰角的射程與軌跡疊圖

固定 $v_0$ 與 g，改變 $\theta$（例如 20°, 35°, 45°, 55°, 70°）。

你會看到：

• 仰角越大，最高點越高，但射程不一定更遠
• 在同高度落地且無阻力時，射程最大在 45°（課本結論）

下面用 Sage 直接疊圖。

v0_num = 20
g_num = 9.8
angles_deg = [20, 35, 45, 55, 70]
angles = [a*pi/180 for a in angles_deg]

plots = Graphics()   # <-- key change
for th in angles:
    tf_n = N((2*v0*sin(theta)/g).subs({v0:v0_num, theta:th, g:g_num}))
    x_n = x_t.subs({x0:0, v0:v0_num, theta:th})
    y_n = y_t.subs({x0:0, y0:0, v0:v0_num, theta:th, g:g_num})
    plots += parametric_plot((x_n, y_n), (t, 0, tf_n))

plots

射程 vs 仰角（數值表）

rows = []
for a_deg, th in zip(angles_deg, angles):
    Rn = N((v0^2*sin(2*theta)/g).subs({v0:v0_num, theta:th, g:g_num}))
    rows.append([a_deg, Rn])
table(rows, header_row=["theta (deg)", "Range R (m)"])

theta (deg)	Range R (m)
$20$	$26.2362289667975$
$35$	$38.3548008484044$
$45$	$40.8163265306122$
$55$	$38.3548008484044$
$70$	$26.2362289667975$

---

6. 非同高度落地（延伸）：給定初始高度 y0

若 $y_0>0$，落地條件：$y(t)=0$ 解 t（取正根），射程：$x(t_f)-x_0$。

例：

• $y_0=5$ m
• $v_0=20$ m/s
• $\theta=35^\circ$
• $g=9.8$

用 Sage 解出 $t_f$ 並畫軌跡。

# 參數
v0_num = 20
theta_num = 35*pi/180
g_num = 9.8
y0_num = 5

x_num = x_t.subs({x0:0, v0:v0_num, theta:theta_num})
y_num = y_t.subs({x0:0, y0:y0_num, v0:v0_num, theta:theta_num, g:g_num})

# 解 y(t)=0 的正根作飛行時間
sol_tf = solve(y_num == 0, t)
sol_tf

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = -\frac{5}{49} \, \sqrt{400 \, \sin\left(\frac{7}{36} \, \pi\right)^{2} + 98} + \frac{100}{49} \, \sin\left(\frac{7}{36} \, \pi\right), t = \frac{5}{49} \, \sqrt{400 \, \sin\left(\frac{7}{36} \, \pi\right)^{2} + 98} + \frac{100}{49} \, \sin\left(\frac{7}{36} \, \pi\right)\right]$$

tf_candidates = [s.rhs() for s in sol_tf]
tf_candidates_n = [N(c) for c in tf_candidates]
tf_candidates_n

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[-0.375601619948255, 2.71672993158518\right]$$

tf_num = max(tf_candidates_n)  # 取較大的正根（落地時刻）
R_num = N(x_num.subs(t=tf_num))

traj = parametric_plot((x_num, y_num), (t, 0, tf_num), thickness=2)
traj + point((0, y0_num), size=40) + point((R_num, 0), size=40)

---

7. 小結與建議練習

你剛剛用 SageMath 做到：

• 符號推導：從 $x(t),y(t)$ 推出 $y(x)$，推導射程/最高點等公式
• 數值計算：代入具體參數得到數值結果
• 圖形驗證：畫出參數式軌跡、疊圖比較不同仰角
• 延伸情況：初始高度不為 0 的落地時間與射程

建議練習

1. 固定 $v_0=30$、$g=9.8$，掃描角度 $1°~89°$，找射程最大角度（應接近 $45°$）。
2. 把 g 改成月球重力（約 1.62），比較射程與最高點如何改變。
   3.（進階）加入空氣阻力模型（需要微分方程數值解），比較與無阻力差異。

從這個例子，也感覺到計算軟體可以做模擬計算，增加對物理現象的理解呢！