前言　科學計算與 SageMath 的介紹

（適用：台灣高中～大一；環境：SageMath / SageCell / Jupyter Notebook）

這本書在做什麼？

你可能已經會用紙筆算題目：展開、因式分解、解方程、畫函數圖、求極限與微積分……
但當題目變長、變複雜，或你想做「大量實驗」來建立直覺時，紙筆會很辛苦。

本書的目標是讓你用 SageMath（一套免費的科學計算與電腦代數系統）來：

• 驗算：快速檢查你推導的式子是否正確
• 探索：改參數、畫圖、做數值實驗，建立直覺
• 整理：把解題步驟寫成可重複執行的筆記（Jupyter notebook）
• 延伸：從高中題目自然連到大一的微積分、線代、機率與資料分析

重要：SageMath 不是要你「偷懶不學」，而是把計算的負擔交給電腦，
讓你把時間用在「理解概念、選方法、檢查合理性」。

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什麼是科學計算？為什麼你需要它？

科學計算（scientific computing）大致包含三種工作：

1. 數值計算（numeric）：例如近似解、數值積分、用電腦模擬
2. 符號計算（symbolic）：例如因式分解、解方程、微分與積分的代數運算
3. 可視化（visualization）：例如畫函數圖、參數曲線、統計圖表

高中到大一常見的痛點：

• 算式很長時容易手誤（尤其展開與合併同類項）
• 參數題／變動題想看趨勢，但手算一次只能看一個特例
• 圖形與解析式之間關係不夠直覺
• 「我解出來了」但不知道答案是否合理

SageMath 能把上述事情做得又快又可重現。

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SageMath 是什麼？和一般計算機、Python 有什麼不同？

• 計算機：擅長數值運算，但不擅長符號推導（如精準因式分解）
• Python：非常通用，科學計算也很強，但「符號代數」需要額外套件（例如 SymPy）
• SageMath：整合了大量數學套件（含符號、數值、圖形、代數、幾何），並用 Python 做為語言介面

你可以把 SageMath 想成：「數學專用的 Python 超級工具箱」。

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這本書的學習方式

每章都會有四種元素：

• 概念與直覺：先說要解決什麼問題、常見誤解在哪
• SageMath 操作：用最少指令完成必要工作
• 例題：從高中題逐步提高到大一的典型形式
• 練習：附提示（必要時附驗算方式）

你不需要一次記住所有指令。
你要建立的是：遇到某種數學任務，知道 SageMath 可以怎麼幫你。

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使用環境：你可以怎麼跑 SageMath？

常見方式（依「方便程度」排序）：

A. 直接用雲端 SageCell（最簡單）

• 打開 SageCell 網頁，貼上程式碼就能跑
• 缺點：不太適合長篇筆記整理（但適合快速試算）

B. 用線上平台（例如 CoCalc）

• 可以在 CoCalc 開 Jupyter notebook，適合做筆記
• 缺點：需要帳號／可能有資源限制（依平台規則）

C. 本機安裝 SageMath（最完整

方法一：在 Linux 系統安裝

• 本書是在 Ubutnu 20.04 (Linux) 下，使用系統搭配的套件。

安裝方式：

sudo apt update
sudo apt install sagemath

啟動方式：

sage -n jupyter

• 優點：功能完整、離線可用，可以用 jupyter notebook 做文字和程式碼搭配的筆記本。
• 缺點：安裝較花時間（但值得一次搞定），需對 Linux 系統有初步認識。

方法二：利用 Conda 環境安裝

適用於 Windows, macOS, Linux 系統。

1. 到 conda.io 下載系統對應 Miniconda 並安裝。
2. Windows 系統使用者打開 Anaconda Prompt，macOS 或 Linux 系統使用者，打開終端機。
3. 輸入指定由 conda-forge 安裝穩定版本，並安裝 mamba：

conda config --add channels conda-forge
conda config --set channel_priority strict
conda install -n base -c conda-forge mamba

4. 建立獨立的新環境，其中 sage-env 是自訂的名稱：

conda create -y -n sage-env python=3.11

5. 進入 sage-env：

conda activate sage-env

6. 用 mamba 安裝 sage 套件：

mamba install -y sage

7. 啟動方式：

sage -n jupyter

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Notebook 的基本讀法

• Markdown 格：用來寫文字、公式與步驟
• Code cell：用來執行 SageMath 指令
• 一個 notebook 就是一份「可重複執行的數學筆記」

接下來我們先用幾個最短的例子，體會 SageMath 的三大能力：
符號推導、數值計算、畫圖。

快速體驗 1：符號推導（展開、化簡、因式分解）

# 在 SageMath 裡，先宣告符號變數
var('x')

expr = (x+2)*(x-3)*(x+1)
expr

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(x + 2\right)} {\left(x + 1\right)} {\left(x - 3\right)}$$

# 展開（expand）、化簡（simplify）、因式分解（factor）
expr_expand = expand(expr)
expr_simplify = simplify(expr_expand)  # 這裡其實已經很簡單了，示範用
expr_factor = factor(expr_expand)

expr_expand, expr_simplify, expr_factor

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(x^{3} - 7 \, x - 6, x^{3} - 7 \, x - 6, {\left(x + 2\right)} {\left(x + 1\right)} {\left(x - 3\right)}\right)$$

你可以把它當成「自動檢查」：

• 你手算展開後得到某個多項式 $P(x)$，就用 expand(expr) 看看是否一致
• 你手算因式分解得到某個形式，就用 factor(...) 驗算

小提醒：因式分解常有不同但等價的形式（例如差一個常數倍），
驗算時可以比較 simplify(你的式子 - 正確式子) 是否為 0。

快速體驗 2：數值計算（代入、近似值、精準值）

var('x')
f = (x^2 - 2) / (x - 1)

# 代入：用 f(x=...) 或 f.subs(...)
f(x=3), f.subs(x=3)

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$$

# 精準值：Sage 常會保留分數或根號（exact）
g = sqrt(2) + 1/3
g

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{2} + \frac{1}{3}$$

# 近似值：用 N(...) 或 .n()
N(g), g.n()

$$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(1.74754689570643, 1.74754689570643\right)$$

學習建議：

• 先用 exact 形式推導（保留根號、分數）避免誤差擴散
• 最後需要比較大小或估計時，再轉成 numeric 近似

這也會在「不等式」「極限」「微積分」章節一直派上用場。

快速體驗 3：畫圖（讓直覺跟得上推導）

var('x')
h = (x^2 - 2) / (x - 1)

# plot(函數, (變數, 下界, 上界))
plot(h, (x, -4, 4), ymin=-10, ymax=10)

圖形常常能幫你抓到三件事：

1. 定義域問題：例如分母為 0 的點
2. 趨勢與極限：靠近某點或無限遠時的行為
3. 解的數量：例如方程的根大概有幾個、在哪裡

注意：畫圖是輔助直覺，不是證明。
後面章節會教你如何把圖形觀察「轉回」嚴謹的符號推導。

本書的符號約定與常用指令（先看過即可）

你會在後面反覆看到下列指令：

• var('x y')：宣告符號變數
• expand(...)：展開
• factor(...)：因式分解
• simplify(...)：化簡
• solve(...)：解方程（含聯立）
• plot(...)：畫圖（2D）
• limit(...)：極限
• diff(...)：微分
• integral(...)：積分
• sum(...)：求和（數列）
• matrix(...), vector(...)：線性代數與向量

不用急著背；遇到問題知道可以查回來就好。

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學習守則：用 SageMath 時要避免的 3 個陷阱

1. 把輸出當答案而不檢查條件
   例如解方程時可能出現「增根」或漏掉定義域限制。

2. 只看數值近似，忘記精準形式
   尤其在極限、比較大小、證明題中，exact 常更可靠。

3. 只靠畫圖下結論
   圖能看趨勢，但你仍需要符號推導或不等式來證明。

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練習（不需交作業，目標是熟悉 notebook）

1. 用 SageMath 計算並比較：

   • $\sqrt{50}$ 與 $5\sqrt{2}$ 是否相等？
   • 提示：simplify(sqrt(50) - 5*sqrt(2))

2. 令 $p(x)=(x-1)^3-(x+1)^3$

   • 用 expand 展開
   • 用 factor 因式分解
   • 你觀察到什麼結構？

3. 畫出 $y=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 的圖形，並回答：

   • $x=1$ 附近圖形長怎樣？
   • 你猜 $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 是多少？

下一章開始，我們會把 notebook 當成「學數學的工作台」。
先從最基本的語法與物件開始：變數、運算、函數、清單、與畫圖細節。